有理單元法研究.pdf

1、根據材料的細觀結構將非均質材料區(qū)域劃分成多邊形單元，可以方便有效地模擬非均質材料的細觀性能。傳統(tǒng)有限元法在多邊形單元上難以構造滿足協調性要求的多項式位移試函數。即使在四邊形單元上，傳統(tǒng)有限元法位移試函數的構造也依賴于等參變換。本文組合Shepard插值的逆距離權思想和自然鄰點插值考慮節(jié)點分布的思想，采用幾何的方法在多邊形單元上，直接構造出有理函數形式的插值函數。進而利用構造出的有理函數插值，建立了求解偏微分方程的新型數值方法——有理單元

2、法。 本文以多邊形單元上有理函數插值的構造和應用為主線，主要取得以下創(chuàng)新成果： 一、采用幾何的方法構造出多邊形單元上的有理函數插值。證明了多邊形單元上有理函數插值的有關性質。給出了有理函數插值的計算代數表達式和計算流程，利用該表達式可以方便地編寫計算程序。構造的有理函數插值與Shepard型插值相比，考慮了平面節(jié)點分布對插值的影響；與自然鄰點Laplace插值相比，不需要進行自然鄰點的尋找；與Wachspress型插值相

3、比，不含有待定參數，方便程序的編寫；在三角形單元和矩形單元上，多邊形有理函數插值分別等價于傳統(tǒng)有限元的三角形面積坐標插值和四邊形雙線性插值；有理函數插值在多邊形單元上是直接構造，不需要進行等參變換處理。 二、對圓形區(qū)域上的曲面利用有理函數插值進行重構。利用區(qū)域邊界有限個點的信息，采用有理函數插值重構曲面。算例表明有理函數插值得到的重構曲面，能夠很好地反映出真實曲面的特征。 三、將構造出的有理函數插值應用于凸區(qū)域溫度場分布

4、的插值近似。利用區(qū)域邊界點的溫度值，采用有理函數插值得到區(qū)域內部點的溫度近似值。有理函數插值得到的溫度場近似分布在區(qū)域內溫度梯度是連續(xù)的，克服了傳統(tǒng)有限元插值由于在區(qū)域內布點造成的區(qū)域內溫度梯度不連續(xù)性的缺陷。數值算例表明，有理函數插值得到的溫度場近似分布，能夠很好地反映真實溫度場分布的特點。 四、采用幾何的方法構造出多邊形單元上有理函數形式的混合函數，建立了多邊形單元上的有理超限插值格式，進而得到四邊形單元上的有理Coons曲

5、面片。給出了有理混合函數的計算表達式。與傳統(tǒng)Coons插值的線性混合函數不同，有理Coons插值的混合函數是非線性的，在曲面重構過程中這將有助于反映復雜曲面的特征。數值算例表明，對于復雜曲面，有理Coons插值重構的曲面比傳統(tǒng)的Coons插值更準確反映出真實曲面的特征。 五、將有理Coons插值應用于矩形區(qū)域上溫度場分布的插值近似，改進了有理函數插值在矩形區(qū)域溫度場分布插值近似過程中，局部區(qū)域精度較差的缺陷。數值算例表明，對于凸

6、域上溫度場分布的插值近似，有理函數插值適合于圓形區(qū)域，有理Coons插值適合于矩形區(qū)域。 六、將Delaunay三角化的概念推廣到Delaunay多邊形化，提出Delaunay多邊形化網格自動生成技術。對于給定的節(jié)點分布，由Delaunay多邊形化網格自動生成技術，可以自動生成計算區(qū)域的多邊形單元網格。Delaunay多邊形化網格自動生成技術使得復雜區(qū)域的網格劃分非常靈活方便。算例表明，Delaunay多邊形化網格自動生成技術不

7、但能生成多邊形的單元網格，而且能夠生成傳統(tǒng)有限元的三角形/四邊形計算網格。 七、以多邊形單元上的有理函數插值作為試函數，采用加權殘數法建立了求解勢問題偏微分方程的新型數值方法——有理單元法。討論了有理單元法計算誤差的來源。給出了三種不同的數值積分方案，討論了三種數值積分方案對計算誤差的影響，由此確定了一種使計算誤差最小的積分方案—中心三角形積分方案。數值算例表明，有理單元法求解溫度場分布問題具有令人滿意的精度。 八、以多

8、邊形單元上的有理函數插值作為試函數，采用Galerkin法建立了求解彈性力學問題的有理單元法。討論了計算剛度矩陣數值積分時積分點的數量對計算精度的影響，給出了有理單元法數值積分的優(yōu)化方案。數值算例表明，有理單元法在求解彈性力學問題時，不論是位移還是應力都有較高的精度。 九、利用有理單元法對非均質材料進行了數值模擬。通過在材料界面布置節(jié)點，由Delaunay多邊形化技術自動在圓形夾雜區(qū)域生成多邊形單元。與傳統(tǒng)有限元法相比，同樣的節(jié)