一類p—Laplacian方程解的存在性及多重性.pdf

1、文中首先考慮如下帶有Dirichlet邊界條件的p-Laplacian方程:-△pu=-λ|u|p-2u+f(x，u)z∈Ω， (1)u=0 x∈θΩ，其中△pu為p-Laplacian算子：△pu=div(|▽|p-2▽u)，f∈C((Ω)×R，R)，入＞為參數(shù)．假設(shè)P＞1，Ω為RN(N≥1)中的帶有光滑邊界θΩ的有界區(qū)域．運(yùn)用山路引理得到方程(1)解及多解的存在性． 定理1：假設(shè)在方程(1)中f滿足以下條件:(f1)f∈C(

2、(Ω)×R，R)，當(dāng)t∈R，x∈(Ω)時(shí)f(x，t)≥0；(f2)limt→0+f(x,t)/tp-1=0關(guān)于x∈(Ω)幾乎處處一致成立；(f3)當(dāng)N≤p時(shí)存在q∈(0，+∞)，當(dāng)N＞P時(shí)存在q∈(p，pN/N-p1)使得limt→+∞f(x,t)/tq=0關(guān)于x∈(Ω)幾乎處處一致成立；(f4)存在θ＞P，r＞0使得當(dāng)t≥r時(shí)對(duì)任意(x，t)∈(Ω)×R+有0＜θF(x，t)≤tf(x，t)，其中F(x，t)=∫tof(x，s)ds．

3、那么對(duì)所有λ＞0方程(1)至少有一個(gè)正解． 定理2：假設(shè)在方程(1)中f滿足(f*1)f∈C((Ω)×R，R)，當(dāng)t∈R，x∈(Ω)時(shí)，f(x,t)t≥0；(f*2)lim|t|→0 f(x,t)/|t|p-2t=0關(guān)于x∈(Ω)幾乎處處一致成立；(f*3)當(dāng)N≤p時(shí)存在q∈(0，+∞)，當(dāng)N＞P時(shí)存在q∈_p,pN/N-p-1)使得lim|t|→∞f(x,t)/|t|q0關(guān)于x∈(Ω)幾乎處處一致成立；(f*4)存在θ＞P，r

4、＞0使得當(dāng)|t|≥r時(shí)對(duì)所有(x，t)∈(Ω)×R有0＜θF(x，t)≤tf(x，t)．那么對(duì)所有λ＞0方程(i)至少有一正一負(fù)兩解． 討論RN上的p-Laplacian方程-△pu+|u|p-2u=f(u)， u∈W1,p(RN) (2)最小能量解的存在性，其中1＜P＜N，f∈C(R，R)．本文在f不滿足AR條件下，利用Nehari方法得到最小能量解的存在性．主要結(jié)果如下： 定理3：假設(shè)在方程(2)中f∈C(R，R)滿

5、足(f5)lim|t|→0f(t)/|t|p-2t=0；(f6)存在p＜q＜p*全pN/(N-p)使得lim|t|+∞f(t)/|t|q/2t=0；(f7)函數(shù)t-f(t)/|t|p-1關(guān)于t在R\{0}中單調(diào)遞增；(f8)lim|t|→+∞F(t)/|t|p=+∞(f9)存在μp＜Np/警(q-p)和常數(shù)α＞0使得當(dāng)t∈R＼{0}．時(shí)/(t)t-pF(t)≥a|t|∶>0那么方程(2)至少有一個(gè)最小能量解． 最后討論了RN上的

6、p-Laplacian方程-△pt+V(x)|u|p-2+u=s(u)， u∈W1,p p(RⅣ) (3)正解及最小能量解的存在性，其中1＜P≤N，f∈C(R，R)，V∈C(RN,R)．本文對(duì)非線性項(xiàng)f只給出在0與∞處的條件，利用沒(méi)有(Ps)條件的山路引理及集中緊性方法得到結(jié)果． 主要結(jié)果如下: 定理4設(shè)在方程(3)中f和V滿足以下條件(10)當(dāng)t＞0時(shí)，(t)≥o；當(dāng)t≤0時(shí)， f(t)蘭0；(f11)當(dāng)N=p時(shí)存在q

7、＜∞，當(dāng)N＜p時(shí)存在q＜Np/N-p使得limt→∞f(t)/tp=0；(f12)lim t→0+f(t)tp-1=α，其中α≥0是常數(shù)；(f13)limt→+∞f(t)/tp-1＝+∞(v1)a＜α0，其中α0=infu∈W1,p(RN/{0}； (V2)0＜infx∈RNV(x)≤V(x)≤lim|x|→∞V(x)=V(∞)＜+∞；(v3)存在函數(shù)ψ∈L2(RN)∪ W1,∞(RN)使得對(duì)任意x∈RN有|x||▽V(x)|≤