數值積分的計算方法論文

1、數值積分本文應用插值積分法和逼近論的思想，簡單重述了推導 本文應用插值積分法和逼近論的思想，簡單重述了推導 Newton-Cotes 公式 公式和 Gauss-Legendre 求積公式的過程，以及這兩個公式的系數、精度等問題。并 求積公式的過程，以及這兩個公式的系數、精度等問題。并以這兩種數值積分的求解方法為基礎，應用 以這兩種數值積分的求解方法為基礎，應用 quad、guass 函數編寫具體 函數編寫具體 Matlab程序，通過計算

2、機軟件計算出所給題目的近似數值積分。對二者所得的結果進 程序，通過計算機軟件計算出所給題目的近似數值積分。對二者所得的結果進行比較，從而研究了用 行比較，從而研究了用 Newton-Cotes 和 Gauss-Legendre 公式求積分的方法和 公式求積分的方法和二者的精確度問題。得知，這兩種求積公式所得的結果在精度上的確存在差 二者的精確度問題。得知，這兩種求積公式所得的結果在精度上的確存在差異，結合理論部分更加充分地說明了， 異，

3、結合理論部分更加充分地說明了，n 相同時 相同時 Gauss-Legendre 公式比 公式比Newton-Cotes 公式具有更高的代數精度，但當代數精度相同時，二者計算的結 公式具有更高的代數精度，但當代數精度相同時，二者計算的結果仍存在細微的差異。 果仍存在細微的差異。理論依據逼近論——構造一個簡單函數 p(x)近似表示 f(x),然后對 p(x)求積分得到 f(x)的積分的近似值?；诓逯翟恚茖С鰯抵捣e分的基本公式。

4、7;1 插值求積公式為了用數值方法求 ，對被積函數 f(x)在給定的 n+1 個節(jié)ba I(f)= f(x)dx ?點上作 Lagrange 插值，用插值函數 Pn(x)代替 f(x)，就可用 I（Pn(x)）構造求積公式，近似地計算定積分 I(f(x))。§2Newton—Cotes 公式§2.1Newton—Cotes 公式的推導當§1.1 插值求積公式的插值節(jié)點為等距節(jié)點時，就得到 Newton—Co

5、tes公式。將區(qū)間[a,b]n 等分， ，n+1 個節(jié)點為b a h n? ?xk=a+kh (k=0,1,…,n)在節(jié)點上對 f(x)的 Lagrange 插值多項式是：0 0( ) ( ) ( )n njn kk j k jj kx x p x f x x x ? ? ?? ? ? ? ?用 Pn(x)代替 f(x)構造求積公式：（1-3）( 1)0( ) ( ) ( ) ( 1)!n n bk a kf R f x x dx n?

6、 ??? ? ? ? ?討論舍入誤差對計算結果產生的影響，設（1-2）式近似計算 ( )ba f x dx ?其中計算函數值 f(xn)有誤差值 （k=0,1,2, …,n） 。在（1-2）式中令 εn? 設計算 無誤差，舍入誤差也忽略，則，由（1-2）式計 f(x) ≡ 1,pn(x) = 1n ∑k = 0Cnk Cnk算時 引式的誤差為 εn( ) ( ) ( ) ( )0 00 0( )[ ( ) ( ( ) ) ( )( ..

7、. )n nn n n nn k k k k n n nk ke b a C f x C f x b a C C ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如果 皆為正，并設 ，則 ，故 有界，即 Cnk ε = max0 ≤ k ≤ n|εk| |en| ≤ ε(b ? a)n ∑k = 0|Cnk| = ε(b ? a) en引起的誤差受控制，不超過 倍。保證了數值計算的穩(wěn)定性。 εk ( ) b a ? ?但當 n

8、 8 時， 將出現負數，這時，數值計算的穩(wěn)定性不能保證，所以節(jié) ? Cnk點超過 8 時 Newton—Cotes 公式不能用。當 n 為偶數時，Newton—Cotes 積分公式具有 n+1 次代數精度。§2.3 經典 Newton—Cotes 公式當 n=4,5 點公式稱為經典 Newton—Cotes 公式0 1 2 3 4( ) ( )0 0(7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )) 90(

9、) ( ) ( ( ) 1, ( ) 1 1n nn nk k n k k n kk kb a C f x f x f x f x f xy f x I b a C y R f x p x C? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?其中(k=0,1,…,4)，它具有 5 次代數精度。 xk = a + kb ? a4§3 Gauss-Legendre 求積公式在積分區(qū)間[a,b]內對積分節(jié)點不作限制，不取