jnxyj《數(shù)學(xué)分析》函數(shù)極限存在條件

1、生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因?yàn)樵谒鼉?nèi)部蘊(yùn)含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時(shí)間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來(lái)。－－泰戈?duì)枺澈瘮?shù)極限存在條件函數(shù)極限存在條件教學(xué)目的教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學(xué)要求教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則運(yùn)用。教學(xué)方法教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)

2、加深理解，掌握運(yùn)用。教學(xué)程序教學(xué)程序：?引言在討論數(shù)列極限存在條件時(shí)，我們?cè)虼蠹医榻B過“單調(diào)有界定理”和“柯西收斂準(zhǔn)則”。我們說數(shù)列是特殊的函數(shù)，那么對(duì)于函數(shù)是否也有類似的結(jié)果呢？或者說能否從函數(shù)值的變化趨勢(shì)來(lái)判斷其極限的存在性呢？這是本節(jié)的主要任務(wù)。本節(jié)的結(jié)論只對(duì)這種類型的函數(shù)極限進(jìn)行論述，但其結(jié)論對(duì)其它類型的函數(shù)極限也是成立的。0xx?首先介紹一個(gè)很主要的結(jié)果——海涅(Heine)定理（歸結(jié)原則）。一、歸結(jié)原則一、歸結(jié)原則定理１定

3、理１（Heine定理定理）設(shè)在內(nèi)有定義，存在對(duì)任何含于且以f00()Ux??0lim()xxfx??00()Ux??0x為極限的數(shù)列，極限都存在且相等。??nxlim()nnfx??注１注１是數(shù)列，是數(shù)列的極限。所以這個(gè)定理把函數(shù)的極限歸結(jié)為數(shù)列??()nfxlim()nnfx??()fx的極限問題來(lái)討論，所以稱之為“歸結(jié)原則”。由此，可由數(shù)列極限的性質(zhì)來(lái)推斷函數(shù)極限性質(zhì)。??()nfx注２注２從Heine定理可以得到一個(gè)說明不存在的方

4、法，即“若可找到一個(gè)數(shù)列，0lim()xxfx???nx，使得不存在；”或“找到兩個(gè)都以為極限的數(shù)列，使0limnnxx???lim()nnfx??0x????nnxx???都存在但不相等，則不存在。lim()lim()nnnnfxfx???????0lim()xxfx?例１例１證明不存在。01limsinxx?注３注３對(duì)于這四種類型的單側(cè)極限，相應(yīng)的歸結(jié)原則可表示為更00xxxxxx??????????強(qiáng)的形式。如當(dāng)時(shí)有：0xx??定

5、理２定理２設(shè)函數(shù)在的某空心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)任何以為極限的遞減f0x00()Ux?0lim()xxfxA????0x數(shù)列，有.??00()nxUx??lim()nnfxA???二、單調(diào)有界定理二、單調(diào)有界定理相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理?，F(xiàn)以這種類型為例0xx??敘述如下:定理３定理３設(shè)為定義有上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在。f00()Ux?0lim()xxfx??注：定理３可更具體地?cái)⑹鋈缦拢簽槎x在

6、上的函數(shù)，若（１）在上遞增有下界，則存在，且f00()Ux?f00()Ux?0lim()xxfx??；（２）在上遞減有上界，則存在，且000()lim()inf()xxxUxfxfx?????f00()Ux?0lim()xxfx??.000()lim()sup()xxxUxfxfx?????三函數(shù)極限的函數(shù)極限的Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則定理４定理４（Cauchy準(zhǔn)則準(zhǔn)則）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，存在任給，存在正數(shù)f00()Ux??0lim