高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要: 高等數(shù)學是在初等數(shù)學的基礎上發(fā)展起來的。與初等數(shù)學有著緊

3、密的聯(lián)系。許多初等數(shù)學無法解答的問題高等數(shù)學都給出了解答。因此，學會用高等數(shù)學的思想、方法，去研究初等數(shù)學的問題是很重要的。應用高等數(shù)學的方法使學生對初等數(shù)學的本質，以及與高等數(shù)學之間的內在聯(lián)系，會有更深刻的認識。</p><p>　　本論文研究了初等數(shù)學與高等數(shù)學的關系，并且通過一些例子研究了微積分方法、行列式方法、lagrange插值方法、laplace展開方法和線性方程組原理等在初等數(shù)學中的應用問題。<

4、;/p><p>　　關鍵字: 初等數(shù)學；高等數(shù)學；微積分；行列式</p><p>　　Higher Mathematics Application in Elementary Mathematics</p><p>　　Abstract: Higher mathematics is developed based on the elementary mathematic

5、s, and closely linked with elementary mathematics. Many questions which are unsolved by Elementary Mathematics are answered by higher mathematics. Therefore, It is important to help students learning higher mathematics i

6、deas and methods and use these to solve the elementary mathematics problems from different angles. Students will have a profound understanding to the nature of elementary mathematics and the intrinsic lin</p><

7、p>　　This paper studies the relationships between the elementary mathematics and the higher mathematics. Many elementary problems is listed and solved by some methods, such as the calculus methods, the determinant meth

8、od, lagrange interpolation, laplace expansion methos.</p><p>　　Key words: Elementary mathematics, Higher mathematics, Calculus; determinant</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　

9、　1.引言………………………………………………………………………………………………1</p><p>　　1.1選題的背景和意義………………………………………………………………………… 1</p><p>　　1.1.1選題的背景……………………………………………………………………… 1</p><p>　　1.1.2選題的意義…………………………………………………

10、…………………… 1</p><p>　　2.初等數(shù)學和高等數(shù)學的關系……………………………………………………………………3</p><p>　　2.1初等數(shù)學的概念………………………………………………………………………… 3</p><p>　　2.2高等數(shù)學的概念………………………………………………………………………… 3</p><p>

11、;　　2.3初等數(shù)學和高等數(shù)學的關系…………………………………………………………… 4</p><p>　　3.高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用……………………………………………………………… 5</p><p>　　3.1微積分方法的應用……………………………………………………………………… 5</p><p>　　3.1.1微積分簡介…………………………………………

12、……………………………5</p><p>　　3.1.2微積分的應用舉例………………………………………………………………5</p><p>　　3.2行列式方法的應用……………………………………………………………………… 7</p><p>　　3.2.1行列式的簡介……………………………………………………………………7</p><p>　　

13、3.2.2行列式的應用舉例………………………………………………………………7</p><p>　　3.3Lagrange插值方法的應用……………………………………………………………… 9</p><p>　　3.3.1Lagrange插值方法的簡介………………………………………………………9</p><p>　　3.3.2Lagrange插值方法的應用舉例……………

14、……………………………………9</p><p>　　3.4 Laplace 展開方法的應用………………………………………………………………10</p><p>　　3.5線性方程組理論方法的用………………………………………………………………12</p><p>　　3.5.1線性方程組理論在平面解析幾何上的應用……………………………………12</p>

15、<p>　　3.5.2線性方程組理論在空間集合上的應用…………………………………………13</p><p>　　4.結論……………………………………………………………………………………………15</p><p>　　5.致謝……………………………………………………………………………………………16</p><p>　　6.參考文獻…………………………………

16、……………………………………………………17</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　1.1 選題的背景和意義</p><p>　　1.1.1 選題的背景</p><p>　　有些中學數(shù)學教師和師范院校數(shù)學系的學生認為學習高等數(shù)學對于初等數(shù)學教學工作作用不大，有的甚至提出“高等數(shù)學在中學教

17、學里根本用不上”等觀點。這些看法正如著名數(shù)學家克萊因早已指出的那樣：“新的大學生一入學就發(fā)現(xiàn)，他面對的問題好像和中學里學過的東西一點聯(lián)系也沒有似的，當然他很快就忘了中學學的知識。但是畢業(yè)以后當了老師，他們又突然發(fā)現(xiàn)，要他們按老師的教法來教授初等數(shù)學，由于缺乏指導，他們很難辨明當前數(shù)學內容和所受大學數(shù)學訓練之間的聯(lián)系，于是很快墜入相沿成習的教學方法，而他們所受的大學訓練至多成為一種愉快的回憶，對他們的教學毫無影響?！比欢谛碌臄?shù)學教材中已

18、經(jīng)出現(xiàn)了一些基礎的高等數(shù)學知識，可以說這是數(shù)學發(fā)展的一種必然。新課程改革在教學的內容、理念、形式上都有很大變化。內容上力求體現(xiàn)時代性，反映數(shù)學學科及其應用的發(fā)展，滲透了現(xiàn)代數(shù)學思想，加強了與實際生活的聯(lián)系。教學中，要求體現(xiàn)數(shù)學的人文價值和科學價值，注重數(shù)學應用意識的培養(yǎng)。新課程內容的變化，無論是新增內容，還是要求、處理形式、側重點上有變化的內容，都需要教師認真理解，仔細分析。</p><p>　　高等數(shù)學的重要性

19、不僅在于它的方法在初等數(shù)學中有廣泛的應用，而且在于用高等數(shù)學的觀點往往可以揭示“為什么這么做”和“應該怎么做”，從而使學生不僅知其然而且知其所以然。我們知道，作為一個教師如果不了解所講授的問題中的條件提出的原因，也不知道問題的來源，而僅僅知道每一道題該怎么做，那么，他也許難以將有關的概念解釋清楚。</p><p>　　1.1.2 選題的意義</p><p>　　高等數(shù)學是在初等數(shù)學的基礎

20、上發(fā)展起來的．與初等數(shù)學有著緊密的聯(lián)系。許多初等數(shù)學無法解答的問題高等數(shù)學都給出了解答。因此，幫助學生學會用高等數(shù)學的思想、方法，從不同的角度去研究初等數(shù)學的問題。這些問題可以是與中學教學內容密切相關，但又未能完全解決，而應用所學高等數(shù)學知識可以解決的理論、方法問題，也可以是初等數(shù)學中己經(jīng)解決，而運用高等數(shù)學的知識，從另一更高的角度重新認識初等數(shù)學中重要的概念、理論實質及其背景，還可以借助于高等數(shù)學的方法來統(tǒng)一處理和解決初等數(shù)學中一些或

21、一類問題(盡管這些問題可以用初等的方法來解決)等等?？傊?，應用高等數(shù)學的方法使學生對初等數(shù)學的本質，以及與高等數(shù)學之間的內在聯(lián)系，有了深刻的認識。所以本論文選題的基本內容是高等數(shù)學方法在初等數(shù)學中的應用研究。主要論述的高等數(shù)學的方法有微積分方法、行列式、Lagrange插值公式、Laplace展開定理、線性方程組的方法。</p><p>　　本論文運用高等數(shù)學的先進觀點地分析和處理中學數(shù)學內容的問題，主要表現(xiàn)為以

22、下三個方面：一是將高等數(shù)學的思想和辦法滲透到初等數(shù)學中去；二是用具體材料來說明高等數(shù)學對初等數(shù)學的指導意義：三是指出初等數(shù)學某些難以處理的問題的高等數(shù)學背景。</p><p>　　我們知道，數(shù)學教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學能力，即運用數(shù)學解決實際問題和進行發(fā)明創(chuàng)造的本領，而這種能力和本領，不僅表現(xiàn)在對數(shù)學知識的記憶，而且更主要的反映在數(shù)學思想方法的培養(yǎng)。事實上，我們說一個學生數(shù)學能力強，有數(shù)學才能，并不簡單指他記憶

23、了多少數(shù)學知識，而主要說他有運用數(shù)學思想方法解決實際問題和創(chuàng)造數(shù)學理論的本領。對學生來說，需要記憶的數(shù)學知識可多可少，但掌握數(shù)學思想方法則是絕對必要的，因為后者是創(chuàng)造的源泉，發(fā)展的基礎，也是數(shù)學能力的集中體現(xiàn)。在過去的數(shù)學教育中，正是因為過于重視知識的傳授和背誦，而忽略思想方法的講解和分析，加上傳統(tǒng)的考試制度，所以出現(xiàn)了“高分低能"的現(xiàn)象。要改變這種狀態(tài)，就要狠抓數(shù)學思想方法的研究與教學。這樣有利于深刻認識數(shù)學本質與全面把握數(shù)

24、學發(fā)展規(guī)律。</p><p>　　2 初等數(shù)學和高等數(shù)學的關系</p><p>　　2.1 初等數(shù)學的概念[1]</p><p>　　初等數(shù)學教學內容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為表層知識，另一個稱為深層知識。表層知識包括概念、性質、法則、公式、公理、定理等數(shù)學的基本知識和基本技能；深層知識主要指數(shù)學思想和數(shù)學方法。</p><p>

25、　　表層知識是深層知識的基礎，是教學大綱中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強操作性的知識。學生只有通過對教材的學習，在掌握和理解了一定的表層知識后，才能進一步的學習和領悟相關的深層知識。</p><p>　　那種只重視講授表層知識，而不注重滲透數(shù)學思想、方法的教學，是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高：反之，如果單純強調數(shù)學思想和方法，而

26、忽略表層知識的教學，就會使教學流于形式，成為無源之水，無本之木，學生也難以領略到深層知識的真諦。因此，數(shù)學思想、方法的教學應與整個表層知識的講授融為一體，使學生逐步掌握有關的深層知識，提高數(shù)學能力，形成良好的數(shù)學素質。</p><p>　　在初等數(shù)學中，含有很多重要且基本的數(shù)學思想，如幾何證明思想、記算思想、極限思想、隨機思想、數(shù)學結構思想等。這些數(shù)學思想幾乎包括了初等數(shù)學的所有內容；而且，結合學生得到思維能力和

27、他門的實際生活經(jīng)驗，這幾種數(shù)學思想有可能被他們理解和掌握：在中學數(shù)學教學中，運用這些思想分析、處理和解決數(shù)學問題的機會比較多。另外，這些思想對于學習高等數(shù)學來說，也是最基本且罩重要的。因此，在中學數(shù)學教學中，突出這些數(shù)學思想是很有必要的。</p><p>　　2.2 高等數(shù)學的概念[1]</p><p>　　作為基礎課的高等數(shù)學，主要是由極限論、微分學、積分學、級數(shù)理論、解析幾何、微分方

28、程等六部分內容組成一個有機的統(tǒng)一體。其中極限論是基礎，是高等數(shù)學活動的“舞臺”；微分、積分是高等數(shù)學的核心，是從連續(xù)的側面揭示和研究函數(shù)變化的規(guī)律性，微分是從微觀上揭示函數(shù)的有關局部性質，積分則是從宏觀上揭示函數(shù)的有關整體性質，牛頓的微積分基本定理，在微分和積分之間起了橋梁作用；級數(shù)理論是研究解析函數(shù)的主要手段，無窮級數(shù)是從離散的側面去揭示函數(shù)的有關性質，它既是表現(xiàn)函數(shù)的工具，又是用來進行計算的工具，廣義積分又把無窮級數(shù)與積分的內容溝通

29、起來了；解析幾何為微積分的研究提供了解析工具，為揭示函數(shù)的性狀提供了直觀模型；微分方程又從方程的角度把函數(shù)、微分、積分有機的聯(lián)系起來，揭示了它們之間內在的依賴轉化關系。因此，高等數(shù)學內容結構大致可用框圖這樣給出：</p><p>　　圖1：高等數(shù)學內容結構</p><p>　　事實上，這個框圖反映的高等數(shù)學內容，僅僅是高等數(shù)學體系的一部分，是師范生必學的內容，隨著專業(yè)的不同，高等數(shù)學的內容

30、將向不同的方向延拓，也將隨著時代的發(fā)展和數(shù)學的發(fā)展而不斷地注入新的數(shù)學思想、方法，如非標準分析、離散數(shù)學基本理論、模型思擔等，使得高等數(shù)學的內容更具魅力。</p><p>　　2.3 初等數(shù)學和高等數(shù)學的關系[1]</p><p>　　盡管高等數(shù)學的高度抽象性，使它與初等數(shù)學拉大了距離，但從數(shù)學發(fā)展的歷史來看，高等數(shù)學是多級抽象的結果。它的原型和特例大都來自變量數(shù)學，變量數(shù)學的原型和特例

31、又來自常量數(shù)學，而數(shù)學無疑最終還是扎根于現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系之中。初等數(shù)學的內容，是常量數(shù)學和變量數(shù)學的初步知識，是高等數(shù)學的基礎，是高等數(shù)學中許多(不是全部)概念和理論的原型和特例所在．因此，從高等數(shù)學觀點來看初等數(shù)學，首先就要把高等數(shù)學中的某些概念和理論與初等數(shù)學里相應的原型和特例聯(lián)系起來．這樣，就不僅能夠加深對高等數(shù)學的理解，而且能使我們準確把握初等數(shù)學的本質和關鍵．從而用高層次的眼光處理中學教材，用高等數(shù)學的思想方法指導

32、初等數(shù)學教學，提高教學質量和教學水平，拓廣學生的解題思路，提高解題能力，大有裨益．</p><p>　　高等數(shù)學研究問題的深度和廣度極大豐富了學生的認識視野，不論是從有限還是從無限，從局部還是從整體，從近似還是從精確等方面都滲透著豐富的辯證思想。例如曲邊梯形面積、曲頂柱體體積問題在分割、求和、取極限過程中的以直代曲、以規(guī)則代替不規(guī)則的思想方法正是精確與不精確，有限與無限辯證關系的一種體現(xiàn)．在教學中，深刻剖析內容結

33、構中的這種對立統(tǒng)一、否定之否定、量變與質變矛盾轉化關系，對提高學生的認識能力、優(yōu)化思維能力有著很重要的作用。</p><p>　　3 高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用</p><p>　　高等數(shù)學中有許多方法可以和中學數(shù)學相溝通，有些可以適當遷移到中學數(shù)學中來。高等數(shù)學的方法不僅可以使我們居高臨下地去觀察初等問題，幫助我們確定解題思路，有時還能夠幫助我們剖析某些問題的實質，尋求簡捷的解法。中學

34、數(shù)學中常用的高等數(shù)學方法有極限法、求導法、微分法、積分法、行列式法、向量法、概率法等，下面通過中學數(shù)學中常見的問題為例來說明高等數(shù)學方法在中學數(shù)學中的應用。</p><p>　　3.1 微積分方法的應用</p><p>　　3.1.1 微積分簡介</p><p>　　微積分（Calculus）是高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分、積分以及有關概念和應用的數(shù)學分支。它是數(shù)學

35、的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數(shù)的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。</p><p>　　3.1.2 微積分的應用舉例</p><p>　　利用導數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大最小值，或

36、利用求導法解決一些實際應用問題是函數(shù)內容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復雜問題變得簡單化。</p><p>　　例1：已知在x=±1時取得極值，且f(1)=-1．</p><p>　　(1)試求常數(shù)a、b、c的值；</p><p>　　(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由．</p><p><

37、b>　　解：(1) </b></p><p>　　因為x=±l是函數(shù)f(x)的極值點，</p><p>　　所以x=±l是方程f’(x)=0，即的兩根。</p><p>　　f’(1)=0 即 ①</p><p>　　f’(-1)=0 即 ②</p><p>　　由根與系數(shù)的關系，

38、得</p><p>　　又f(1)=-1，所以， ③</p><p><b>　　由①②③解得，</b></p><p><b>　　(2) ，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　當x<-l或x>1時，&l

39、t;/p><p><b>　　當-1<x<1時，</b></p><p>　　所以函數(shù)f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函數(shù)，在(-l，1)上是減函數(shù)。</p><p>　　因為當x=-1時，函數(shù)取得極大值f(-1)=l，</p><p>　　當x=1時，函數(shù)取得極小值f(1)=-l。</p>

40、;<p>　　這樣，我們就很容易地解決了這個一元三次函數(shù)的極值問題。[4]</p><p>　　初等數(shù)學中,經(jīng)常用不等式、配方等方法求極值。這些方法的優(yōu)點是學生熟悉,易于掌握。但這些方法往往有三個缺點:一是技巧性要求較高,特別是對較復雜的問題;二是適用面較窄,只能解一些較特殊的問題;三是容易混淆極值和最值兩個概念,遺漏了極值。用微積分方法求極值,有固定程序可循,技巧性要求低一些,適用面也廣一些,極值

41、和最值也容易區(qū)分。</p><p><b>　　例2：求 的極值。</b></p><p><b>　　解：, 令 ,得</b></p><p>　　解得 或,由可得 或. 因此,</p><p><b>　　當時, 得;</b></p><p><

42、;b>　　當時, 得;</b></p><p><b>　　當 時, 得 ;</b></p><p>　　此題若用配方法解,可得</p><p><b>　　當時,得;</b></p><p>　　當時,得 ,但很容易遺漏</p><p>　　因為用求導法很

43、容易判斷函數(shù)的單調性,而不等式問題又常?？苫癁楹瘮?shù)問題,故可用微積分法證明一些不等式。</p><p><b>　　例3：求證: .</b></p><p>　　在中學中有很多需要比較大小的地方，我們一般采用的是二者相減或者相除，但是上式我們發(fā)現(xiàn)它不僅相減沒用相除也不行，這里我們采用微積分的方法來比較它們的大小。</p><p><b&g

44、t;　　證明：令 則</b></p><p>　　f ( x ) 在[ 0, + ∞) 上是增函數(shù), x > 0時</p><p><b>　　即 [5]</b></p><p>　　3.2 行列式方法的應用</p><p>　　3.2.1 行列式的簡介</p><p>　

45、　行列式在數(shù)學中，是一個函數(shù)，其定義域為的矩陣A，取值為一個標量，寫作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學工具，都有著重要的應用。 行列式概念最早出現(xiàn)在解線性方程組的過程中。十七世紀晚期，關孝和與萊布尼茨的

46、著作中已經(jīng)使用行列式來確定線性方程組解的個數(shù)以及形式。十八世紀開始，行列式開始作為獨立的數(shù)學概念被研究。十九世紀以后，行列式理論進一步得到發(fā)展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關行列式的性質被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。</p><p>　　3.2.2行列式的應用舉例</p><p>　　行列式是依賴于變元排列位置的一種特殊的代

47、數(shù)式. 在初等數(shù)學中應用它, 可以溝通代數(shù)與幾何間的聯(lián)系, 從數(shù)形結合方面又開辟了新的思考途徑. 本文主要用行列式及其性質證明等式與不等式, 分解等式、以及在幾何方面的應用等. 通過具體的例子體現(xiàn)其方法的簡便與技巧性[6]。</p><p><b>　　例4：求證: </b></p><p>　　這個題目在初等數(shù)學中我們只能應用三角函數(shù)的恒等變換來求證。但是這個做的結

48、果是計算步驟非常復雜，很容易出現(xiàn)錯誤，但是用行列式的方法就簡單很多。</p><p><b>　　證明：因為</b></p><p><b>　　又D==0，</b></p><p><b>　　故 </b></p><p>　　由行列式的定義由此啟發(fā), 我們可以把一個代數(shù)式F

49、 看成兩個式子的差,而每個式子又可以表成兩個因式的乘積, 即 (M, N, P, Q 均為代數(shù)式), 于是. 由此即可根據(jù)行列式的性質, 對某些多項式進行因式分解。</p><p>　　例5：對下式進行因式分解：</p><p>　　在初等數(shù)學中我們要求這個因式分解的話用的是穿插法，先令這個因式為0求出當x為何值時該因式為0，然后可以將其分解因式，但是我們發(fā)現(xiàn)很多因式都很難求他的解。這里我

50、們用行列式的方法來求一下這個因式的因式分解。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　因三階循環(huán)行列式</b></p><p>　　于是當多項式F具有的形式時, F就可以表成循環(huán)行列式, 這時我們就可以運用行列式的性質對多項式F 進行因式分解</p><p><b

51、>　　例6：將分解因式.</b></p><p><b>　　解：</b></p><p>　　3.3 Lagrange插值方法的應用</p><p>　　3.3.1 Lagrange插值方法的簡介</p><p>　　插值法又稱“內插法”，是利用函數(shù)f(x)在某區(qū)間中若干點的函數(shù)值，作出適當?shù)奶囟?/p>

52、函數(shù)，在這些點上取已知值，在區(qū)間的其他點上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f (x)的近似值，這種方法稱為插值法。如果這特定函數(shù)是多項式，就稱它為插值多項式。 </p><p>　　Lagrange插值公式：設是數(shù)域F中任意n+1個互不相同的數(shù)，是F中任意n+1個數(shù)，則存在F[x]的唯一一個次數(shù)不超過n的多項式f(x)，使得</p><p>　　下式即為滿足條件的多項式</p>&l

53、t;p>　　Lagrange插值方法的應用舉例</p><p>　　欲求一個經(jīng)過某些已知點的函數(shù)，用初等數(shù)學中的待定系數(shù)法完全可求出所求函數(shù)，但運算過程中必須求解線性方程組，若求解n次函數(shù)，需求解n+1元線性方程組。既麻煩而且容易出現(xiàn)錯誤，而在Lagrange插值公式中，由于互異，故可構成n+1個互異的點。于是Lagrange插值公式可以表述為存在唯一的一個不超過n次的多項式函數(shù)f(x)經(jīng)過點。因此欲求一個

54、經(jīng)過某些已知點的函數(shù)，只需用Lagrange插值公式便容易得到。</p><p>　　例7：[11]若二次函數(shù)，滿足，求此二次函數(shù)。</p><p>　　解：這里由Lagrange插值公式有</p><p>　　對于一個給出的含變系數(shù)的多項式，時，確定的取值范圍，此類問題用初等函數(shù)的方法可求解。即用已知條件通過解不等式組，先求出變系數(shù)函數(shù)的系數(shù)取值范圍，然后將點帶入

55、函數(shù)表達式，這樣才能得出最終結果。如果用Lagrange插值公式，根據(jù)點與函數(shù)值對應關系，直接寫出函數(shù)在的算式，將已知條件代入即可。</p><p><b>　　例8：已知滿足：</b></p><p><b>　　,求的取值范圍。</b></p><p>　　解：令由Lagrange插值公式，有</p>&

56、lt;p>　　將已知條件代入上式，于是</p><p><b>　　故的取值范圍是。</b></p><p>　　3.4 Laplace 展開方法的應用</p><p>　　Laplace 定理是代數(shù)學的一個重要定理, 它是行列式按一行展開定理的推廣, 不僅在高等代數(shù)中有重要的應用, 而且某些初等數(shù)學中的問題若用Laplace 定理來處

57、理, 也有它的方便之處。</p><p>　　Laplace 展開定理： 在行列式D中任意取定了K個行(列) , 由這K行(列)元素所組成的一切K級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。</p><p>　　本文介紹用Laplace 展開定理計算條件全排列的種數(shù)。</p><p>　　全排列種數(shù)問題, 可化為行列式的某種項數(shù)問題, 而行列式的這種項數(shù)又常可按

58、Laplace 定理展開的辦法來計算, 基于這種思想, 我們可以引出一種所謂條件全排列種數(shù)的行列式計算法。這種行列式叫01 行列式, 其元素全為0 或1, 展開所得n! 項全是0或1。若在01 行列式中, 用0 表示某物不可排位置, 用1 表示某物可排位置, 則01 行列式中的n! 項中, 0 項表示不需全排列, 非0 項表示所需全排列。因此, 某些條件全排列種數(shù)問題成了某個01 行列式的非0 項數(shù)問題。</p><

59、p>　　例9: 5 人站成一排, 其中A 不站在排頭, 也不站在排尾, 有多少種排法?</p><p>　　解: 按題意可作如下01 行列式:</p><p>　　按第一行Laplace 展開, 5 個一級子式中, 有3 個非0, 其余子式都是4 級全1 行列式( 每個元素都是1) , 故所求排法為3×4! = 72。</p><p>　　注: 當然

60、, 亦可按第1、5 列Laplace 展開, = 10個二級子式中, 4 個無非0 項, 6 個,有2! 個非0 項, 其余子式都是3 級全1 行列式, 故所求種數(shù)為6×2! ×3! = 72。[10]</p><p>　　例10: 用0, 1, 2, 3, 4, 5 組成無重復數(shù)字的六位數(shù), 其中有多少個奇數(shù)?</p><p>　　解: 按題意可作如下01 行列式&l

61、t;/p><p>　　按第1，6列Laplace展開，=15個二級子式中，3個，2個，一個共6個無非0項，3個，3個共6個有一個非0項；3個有2個非0項，其余子式都是4級全1行列式，故所求個數(shù)為</p><p>　　注：也可按1，3，5行Laplace展開，=20個三級子式中，=10個有一列為0，故無非0項；=6個有4個非0項；4個全1行列式有3！項，其余子式都是三級全1行列式，故所求個數(shù)為&

62、lt;/p><p>　　3.5 線性方程組理論方法的應用</p><p>　　3.5.1 線性方程組理論在平面解析幾何上的應用</p><p>　　利用線性方程組理論判斷平面上兩條直線的位置關系:相交、平行、重合。</p><p>　　設平面上有兩條直線與則</p><p>　　相交:即兩條直線有一公共點，線性方程組&l

63、t;/p><p>　　有唯一解,從而其系數(shù)行列式 </p><p>　　(2) 平行:即兩條直線無公共點,上式無解,從而有而與至少有一個不為0 。</p><p>　　(3) 重合:即兩條直線有無數(shù)公共點,上式有無窮多個解,從而</p><p>　　例11：求過兩點與的直線方程。</p><p>　　方法一：由兩

64、點式方程可知直線的方程為：</p><p>　　方法二：由線性方程組理論求解。設直線方程為則方程組</p><p>　　有非零解,即其系數(shù)行列式,化簡求解即有</p><p><b>　　。[7]</b></p><p>　　3.5.2 線性方程組理論在空間集合上的應用</p><p>　　同樣

65、,利用線性方程組理論也可以判斷空間兩條直線的位置關系:異面、相交、平行、重合。</p><p>　　設空間中有兩條直線與，其中</p><p>　　，分別是，上的點，,分別表示，的方向向量。</p><p><b>　　異面：即向量,</b></p><p>　　相交：即方向向量不共線，︰︰≠︰︰,</p>

66、<p><b>　　且向量，；</b></p><p>　?。?）平行：即向量與共線，且向量與，都不共線，</p><p><b>　　︰︰＝︰︰≠︰︰；</b></p><p>　　（4）重合：即向量，，都共線，</p><p><b>　　︰︰=︰︰=︰︰</b>

67、;</p><p>　　例12：求過點與平面平行且與直線相交的直線的方程。</p><p>　　解：設直線的方向向量為,由直線的方程知的方向向量為，且過點。由與相交，因此，即</p><p>　　展開得，又與平行，所以，聯(lián)立得方程組：求解，令Z為自由未知量，取Z=1，求得，故所求直線的方程為</p><p><b>　　4 結論&

68、lt;/b></p><p>　　初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎，高等數(shù)學是初等數(shù)學的延伸和擴展，二者在解決問題的思路和方法上有很大的差異，某些問題可以用高等數(shù)學的方法來解也可以用初等數(shù)學的方法來解，當我們在教學中遇到這類問題時，可將兩種方法都呈現(xiàn)在學生面前，這樣有利于提高學生的學習興趣，拓展學生的解題思維，放開眼界，提高解決和分析問題的能力，另一方面，利用高等數(shù)學解決初等數(shù)學問題，還可以把中學生從煩瑣的題海中解

69、放出來。[21]</p><p>　　本文主要通過用高等數(shù)學的微積分，行列式等方法來對初等數(shù)學中的一些問題進行了討論研究。在初等數(shù)學的教學中采用高等數(shù)學的方法不僅能讓初等數(shù)學的一些很難解釋的東西變得簡單而且學習高等數(shù)學的思想能為之后的數(shù)學學習打下堅實的基礎。</p><p>　　初等數(shù)學教材滲入高等數(shù)學的內容、思想、方法似乎會增加教師的“負擔"。但是，我們也應該看到，近些年來，不

70、管是學生還是教育工作者都感覺到初等數(shù)學與高等數(shù)學之間存在著內容、方法、思想上的代溝。如何讓學生在學習高等數(shù)學之前有所準備昵?如何讓學生在初等數(shù)學的學習中開始孕育高等數(shù)學的精神?如何讓學生在學習高等數(shù)學后會回味無窮地體會到：這一段初等數(shù)學的學習讓他受益匪淺?這正是許多教育工作者、數(shù)學家正在思考的問題。詩日：“欲窮千里目，更上一層樓’’，在高等數(shù)學的角度來看初等數(shù)學的某些問題會更深刻、更全面，因此，應該掌握更多的數(shù)學知識，摸清高等數(shù)學與初等

71、數(shù)學的內在聯(lián)系，在教學上才能真正地做到居高臨下。[1]</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 阮國利，高等數(shù)學方法在中學數(shù)學中的應用研究，內蒙古師范大學碩士文,2008-04-20</p><p>　　[2]聶晶品，微積分方法在初等數(shù)學教學中的應用[J]，高等函授學報，2009(5)：88-90</p&

72、gt;<p>　　[3]林廷山，李明輝，略談高等數(shù)學在初等數(shù)學教學中的作用[J]，南寧師范高等?？茖W校學報，2000(2)：67-69</p><p>　　[4]肖新義，肖堯，微積分方法在初等數(shù)學中的應用研究[J]，和田師范專科學校學報，2009，28(5)：205-206</p><p>　　[5] 高九安，導數(shù)在初等數(shù)學中的簡單應用[J]，高中數(shù)學教與學，2005(4)：

73、13</p><p>　　[6]周立仁，行列式在初等數(shù)學中的幾個應用[J]，湖南理工學院學報，2008，21(4)：17-19</p><p>　　[7]陳亮，張帆，線性方程組理論在初等數(shù)學教學中的應用[J]，湖州職業(yè)技術學院學報，2007(3)：82-83</p><p>　　[8]朱桂英，王雪峰，高等數(shù)學在證明不等式中的應用[J]，科技信息，2006(4)：11

74、7-119</p><p>　　[9]彭永成，高等數(shù)學在不等式證明中的應用[J]，中國高校科技與產(chǎn)業(yè)化，2006（S3）：206-207</p><p>　　[10]曹春娟，Laplace展開定理在初等數(shù)學中的應用[J]，運城高等?？茖W校學報，2002,20(3)： 12-13</p><p>　　[11]張淑娜，王焱，Lagrange插值公式在初等數(shù)學中的應用[J

75、]，通化師范學院學報，1999（5）：59-63</p><p>　　[12]李云杰，“高觀點”下的中學數(shù)學的實踐與認識[D]，福州：福建師范大學，2005</p><p>　　[13]郭純，高等數(shù)學與初等數(shù)學的聯(lián)系[J]，周口師專學報，1996,13(3)：46-47</p><p>　　[14]聞開，淺談高等數(shù)學對初等數(shù)學的作用[J]，承德民族師專學報，1993

76、(3)：26-32</p><p>　　[15]侯秀林，微分在初等數(shù)學中的應用[J]，忻州師范學院學報，2002,18(4)：78</p><p>　　[16]陳志云，孫延洲，微積分在初等數(shù)學中的應用[J]，高等函授學報(自然科學版)，2002,15(1)：15-18</p><p>　　[17]趙有為，導數(shù)在初等數(shù)學中的應用[J]，湖南城市學院學報，1991(6)

77、：67-73</p><p>　　[18] 王奇，任文龍，李慧，高等代數(shù)在初等數(shù)學中的一些應用[J]，甘肅聯(lián)合大學學報，2008(22)：55-57</p><p>　　[19]華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析(第三版) [M]，北京：高等教育出版社，2001</p><p>　　[20]菲茨帕特里，advanced calculus: a course in math

78、ematical analysis[M]，北京：機械工業(yè)出版社，2003.5</p><p>　　[21] 周曉渝，高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用[J]，科技信息，2009(30)：490</p><p><b>　　文獻綜述</b></p><p>　　高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用　　　　</p><p><b>

79、　　前言部分</b></p><p>　　隨著新課程改革的不斷進行，高等數(shù)學的知識在高考所占的比重也越來越大，所以，作為高中教師，就必須認真研究新的課程標準、新的考試大綱，認真研究、分析高中數(shù)學中的新知識——高等數(shù)學的知識方法在中學數(shù)學中的應用問題。</p><p>　　高等數(shù)學是在初等數(shù)學的基礎上發(fā)展起來的．與初等數(shù)學有著緊密的聯(lián)系。許多初等數(shù)學無法解答的問題高等數(shù)學都給出了

80、解答。因此，幫助學生學會用高等數(shù)學的思想、方法，從不同的角度去研究初等數(shù)學的問題。這些問題可以是與中學教學內容密切相關，但又未能完全解決，而應用所學高等數(shù)學知識可以解決的理論、方法問題，也可以是初等數(shù)學中己經(jīng)解決，而運用高等數(shù)學的知識，從另一更高的角度重新認識初等數(shù)學中重要的概念、理論實質及其背景，還可以借助于高等數(shù)學的方法來統(tǒng)一處理和解決初等數(shù)學中一些或一類問題(盡管這些問題可以用初等的方法來解決)等等?？傊瑧酶叩葦?shù)學的方法使學生

81、對初等數(shù)學的本質，以及與高等數(shù)學之間的內在聯(lián)系，有了深刻的認識。所以本論文選題的基本內容是高等數(shù)學方法在初等數(shù)學中的應用研究。主要論述的高等數(shù)學的方法有微積分方法、行列式、Lagrange插值公式、Laplace展開定理、線性方程組的方法。</p><p>　　本論文研究了初等數(shù)學、高等數(shù)學的概念、范疇、關系，能使學生對此三個相關聯(lián)的概念加以區(qū)別；同時以大量、翔實的中學數(shù)學的范例為依據(jù)，尤其是近幾年的高考試題，充

82、分說明了高等數(shù)學方法在解決初等數(shù)學的相關問題上，具有明顯的作用，并且盡可能地使用現(xiàn)有中學數(shù)學教材講到的知識、方法。</p><p>　　本論文運用高等數(shù)學的先進觀點地分析和處理中學數(shù)學內容的問題，主要表現(xiàn)為以下三個方面：一是將高等數(shù)學的思想和辦法滲透到初等數(shù)學中去；二是用具體材料來說明高等數(shù)學對初等數(shù)學的指導意義：三是指出初等數(shù)學某些難以處理的問題的高等數(shù)學背景。</p><p><

83、b>　　主題部分</b></p><p>　　1. 初等數(shù)學[1]</p><p>　　初等數(shù)學教學內容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為表層知識，另一個稱為深層知識。表層知識包括概念、性質、法則、公式、公理、定理等數(shù)學的基本知識和基本技能；深層知識主要指數(shù)學思想和數(shù)學方法。</p><p>　　表層知識是深層知識的基礎，是教學大綱中明確規(guī)定的，教

84、材中明確給出的，以及具有較強操作性的知識。學生只有通過對教材的學習，在掌握和理解了一定的表層知識后，才能進一步的學習和領悟相關的深層知識。</p><p>　　那種只重視講授表層知識，而不注重滲透數(shù)學思想、方法的教學，是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高：反之，如果單純強調數(shù)學思想和方法，而忽略表層知識的教學，就會使教學流于形式，成為無源之水，無

85、本之木，學生也難以領略到深層知識的真諦。因此，數(shù)學思想、方法的教學應與整個表層知識的講授融為一體，使學生逐步掌握有關的深層知識，提高數(shù)學能力，形成良好的數(shù)學素質。</p><p>　　在初等數(shù)學中，含有很多重要且基本的數(shù)學思想，如幾何證明思想、記算思想、極限思想、隨機思想、數(shù)學結構思想等。這些數(shù)學思想幾乎包括了初等數(shù)學的所有內容；而且，結合學生得到思維能力和他門的實際生活經(jīng)驗，這幾種數(shù)學思想有可能被他們理解和掌握

86、：在中學數(shù)學教學中，運用這些思想分析、處理和解決數(shù)學問題的機會比較多。另外，這些思想對于學習高等數(shù)學來說，也是最基本且罩重要的。因此，在中學數(shù)學教學中，突出這些數(shù)學思想是很有必要的。</p><p>　　2. 高等數(shù)學[1]</p><p>　　作為基礎課的高等數(shù)學，主要是由極限論、微分學、積分學、級數(shù)理論、解析幾何、微分方程等六部分內容組成一個有機的統(tǒng)一體。其中極限論是基礎，是高等數(shù)學活

87、動的“舞臺”；微分、積分是高等數(shù)學的核心，是從連續(xù)的側面揭示和研究函數(shù)變化的規(guī)律性，微分是從微觀上揭示函數(shù)的有關局部性質，積分則是從宏觀上揭示函數(shù)的有關整體性質，牛頓的微積分基本定理，在微分和積分之間起了橋梁作用；級數(shù)理論是研究解析函數(shù)的主要手段，無窮級數(shù)是從離散的側面去揭示函數(shù)的有關性質，它既是表現(xiàn)函數(shù)的工具，又是用來進行計算的工具，廣義積分又把無窮級數(shù)與積分的內容溝通起來了；解析幾何為微積分的研究提供了解析工具，為揭示函數(shù)的性狀提供

88、了直觀模型；微分方程又從方程的角度把函數(shù)、微分、積分有機的聯(lián)系起來，揭示了它們之間內在的依賴轉化關系。因此，高等數(shù)學內容結構大致可用框圖這樣給出：</p><p>　　事實上，這個框圖反映的高等數(shù)學內容，僅僅是高等數(shù)學體系的一部分，是師范生必學的內容，隨著專業(yè)的不同，高等數(shù)學的內容將向不同的方向延拓，也將隨著時代的發(fā)展和數(shù)學的發(fā)展而不斷地注入新的數(shù)學思想、方法，如非標準分析、離散數(shù)學基本理論、模型思擔等，使得高等

89、數(shù)學的內容更具魅力。</p><p>　　3. 高等數(shù)學和初等數(shù)學的關系[1]</p><p>　　盡管高等數(shù)學的高度抽象性，使它與初等數(shù)學拉大了距離，但從數(shù)學發(fā)展的歷史來看，高等數(shù)學是多級抽象的結果。它的原型和特例大都來自變量數(shù)學，變量數(shù)學的原型和特例又來自常量數(shù)學，而數(shù)學無疑最終還是扎根于現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系之中。初等數(shù)學的內容，是常量數(shù)學和變量數(shù)學的初步知識，是高等數(shù)學的基

90、礎，是高等數(shù)學中許多(不是全部)概念和理論的原型和特例所在．因此，從高等數(shù)學觀點來看初等數(shù)學，首先就要把高等數(shù)學中的某些概念和理論與初等數(shù)學里相應的原型和特例聯(lián)系起來．這樣，就不僅能夠加深對高等數(shù)學的理解，而且能使我們準確把握初等數(shù)學的本質和關鍵．從而用高層次的眼光處理中學教材，用高等數(shù)學的思想方法指導初等數(shù)學教學，提高教學質量和教學水平，拓廣學生的解題思路，提高解題能力，大有裨益．</p><p>　　高等數(shù)學

91、研究問題的深度和廣度極大豐富了學生的認識視野，不論是從有限還是從無限，從局部還是從整體，從近似還是從精確等方面都滲透著豐富的辯證思想。例如曲邊梯形面積、曲頂柱體體積問題在分割、求和、取極限過程中的以直代曲、以規(guī)則代替不規(guī)則的思想方法正是精確與不精確，有限與無限辯證關系的一種體現(xiàn)．在教學中，深刻剖析內容結構中的這種對立統(tǒng)一、否定之否定、量變與質變矛盾轉化關系，對提高學生的認識能力、優(yōu)化思維能力有著很重要的作用。</p>&l

92、t;p>　　1) 微積分方法的應用舉例[2]：利用導數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大最小值，或利用求導法解決一些實際應用問題是函數(shù)內容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復雜問題變得簡單化。</p><p>　　例1：已知在x=±1時取得極值，且f(1)=-1．</p><p>　　(1)試求常數(shù)a、b、c的值；</p><p&g

93、t;　　(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由．</p><p><b>　　解：(1) </b></p><p>　　因為x=±l是函數(shù)f(x)的極值點，</p><p>　　所以x=±l是方程f’(x)=0，即的兩根。</p><p>　　f’(1)=0 即 ①<

94、/p><p>　　f’(-1)=0 即 ②</p><p>　　由根與系數(shù)的關系，得</p><p>　　又f(1)=-1，所以， ③</p><p><b>　　由①②③解得，</b></p><p><b>　　(2) ，</b></p><p>&l

95、t;b>　　所以</b></p><p>　　當x<-l或x>1時，</p><p><b>　　當-1<x<1時，</b></p><p>　　所以函數(shù)f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函數(shù)，在(-l，1)上是減函數(shù)。</p><p>　　因為當x=-1時，函數(shù)取得極

96、大值f(-1)=l，</p><p>　　當x=1時，函數(shù)取得極小值f(1)=-l。</p><p>　　這樣，我們就很容易地解決了這個一元三次函數(shù)的極值問題。</p><p>　　2) 高中數(shù)學新課程打破先講極限后講導數(shù)的順序，直接通過實際背景和具體應用實例，即通過與社會生活聯(lián)系緊密的速度、膨脹率、增長率等變化率引入導數(shù)，旨在用導數(shù)反映的變化率研究初等函數(shù)的性質.

97、通過利用導數(shù)對初等數(shù)學中較為復雜的解(證明) 不等式、求函數(shù)最值、證明函數(shù)的單調性等內容, 突出導數(shù)方法簡化初等數(shù)學復雜問題的特點, 加深導數(shù)在高中數(shù)學特別在高考數(shù)學中的應用, 拓寬高中數(shù)學教學的視野, 以期拋磚引玉[3].</p><p><b>　　例2：求證: </b></p><p><b>　　證明：令 則</b></p>

98、<p>　　f ( x ) 在[ 0, + ∞) 上是增函數(shù), x > 0時</p><p><b>　　即</b></p><p>　　3) 行列式是依賴于變元排列位置的一種特殊的代數(shù)式. 在初等數(shù)學中應用它, 可以溝通代數(shù)與幾何間的聯(lián)系, 從數(shù)形結合方面又開辟了新的思考途徑. 本文主要用行列式及其性質證明等式與不等式, 分解等式、以及在幾何方面

99、的應用等. 通過具體的例子體現(xiàn)其方法的簡便與技巧性[4].</p><p><b>　　例3：求證: </b></p><p><b>　　證明：因為</b></p><p><b>　　又D==0，</b></p><p><b>　　故 </b><

100、;/p><p>　　4)Lagrange插值公式[5]：設是數(shù)域F中任意n+1個互不相同的數(shù)，是F中任意n+1個數(shù)，則存在F[x]的唯一一個次數(shù)不超過n的多項式f(x)，使得</p><p>　　下式即為滿足條件的多項式</p><p>　　例4：若二次函數(shù)，滿足，求此二次函數(shù)。</p><p>　　解：這里由Lagrange插值公式有</

101、p><p>　　5）Laplace 展開定理[6]：在行列式D中任意取定了K個行(列) , 由這K行(列)元素所組成的一切K級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。</p><p>　　例5：5 人站成一排, 其中A 不站在排頭, 也不站在排尾, 有多少種排法?</p><p>　　解: 按題意可作如下01 行列式:</p><p>　　

102、按第一行Laplace 展開, 5 個一級子式中, 有3 個非0, 其余子式都是4 級全1 行列式( 每個元素都是1) , 故所求排法為3×4! = 72。</p><p>　　注: 當然, 亦可按第1、5 列Laplace 展開, = 10個二級子式中, 4 個無非0 項, 6 個,有2! 個非0 項, 其余子式都是3 級全1 行列式, 故所求種數(shù)為6×2! ×3! = 72。&l

103、t;/p><p>　　6）線性方程組理論在平面解析幾何上的應用[7]</p><p>　　利用線性方程組理論判斷平面上兩條直線的位置關系:相交、平行、重合。</p><p>　　設平面上有兩條直線與，則</p><p>　　(1)相交:即兩條直線有一公共點，線性方程組</p><p>　　有唯一解,從而其系數(shù)行列式。<

104、;/p><p>　　(2) 平行:即兩條直線無公共點,上式無解,從而有而與至少有一個不為0。</p><p>　　(3) 重合:即兩條直線有無數(shù)公共點,上式有無窮多個解,從而</p><p>　　例6：求過兩點與的直線方程。</p><p>　　方法一：由兩點式方程可知直線的方程為：</p><p>　　方法二：由線性方程

105、組理論求解。設直線方程為則方程組</p><p>　　有非零解,即其系數(shù)行列式,化簡求解即有</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　總結部分</b></p><p>　　初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎，高等數(shù)學是初等數(shù)學的延伸和擴展，二者在解決問題的思路和方法上有很大的差異，

106、某些問題可以用高等數(shù)學的方法來解也可以用初等數(shù)學的方法來解，當我們在教學中遇到這類問題時，可將兩種方法都呈現(xiàn)在學生面前，這樣有利于提高學生的學習興趣，拓展學生的解題思維，放開眼界，提高解決和分析問題的能力，另一方面，利用高等數(shù)學解決初等數(shù)學問題，還可以把中學生從煩瑣的題海中解放出來。[1]</p><p>　　本文主要通過用高等數(shù)學的導數(shù)，微積分和行列式的方法來對初等數(shù)學中的一些問題進行了討論研究。在初等數(shù)學的教

107、學中采用高等數(shù)學的方法不僅能讓初等數(shù)學的一些很難解釋的東西變得簡單而且學習高等數(shù)學的思想能為之后的數(shù)學學習打下堅實的基礎。</p><p>　　初等數(shù)學教材滲入高等數(shù)學的內容、思想、方法似乎會增加教師的“負擔”。但是，我們也應該看到，近些年來，不管是學生還是教育工作者都感覺到初等數(shù)學與高等數(shù)學之間存在著內容、方法、思想上的代溝。如何讓學生在學習高等數(shù)學之前有所準備昵?如何讓學生在初等數(shù)學的學習中開始孕育高等數(shù)學的

108、精神？如何讓學生在學習高等數(shù)學后會回味無窮地體會到：這一段初等數(shù)學的學習讓他受益匪淺？這正是許多教育工作者、數(shù)學家正在思考的問題。詩日：“欲窮千里目，更上一層樓”，在高等數(shù)學的角度來看初等數(shù)學的某些問題會更深刻、更全面，因此，應該掌握更多的數(shù)學知識，摸清高等數(shù)學與初等數(shù)學的內在聯(lián)系，在教學上才能真正地做到居高臨下[1]。</p><p><b>　　參考文獻</b></p>&

109、lt;p>　　[1] 阮國利，高等數(shù)學方法在中學數(shù)學中的應用研究[D]，內蒙古：內蒙古師范大學,2008年</p><p>　　[2]肖新義，肖堯，微積分方法在初等數(shù)學中的應用研究[J]，和田師范?？茖W校學報，2009，28(5)：205-206</p><p>　　[3]高九安，導數(shù)在初等數(shù)學中的簡單應用[J]，高中數(shù)學教與學，2005(4)：13</p><p

110、>　　[4]周立仁，行列式在初等數(shù)學中的幾個應用[J]，湖南理工學院學報，2008，21(4)：17-19</p><p>　　[5]張淑娜，王焱，Lagrange插值公式在初等數(shù)學中的應用[J]，通化師范學院學報，1999（5）：59-63</p><p>　　[6]曹春娟，Laplace展開定理在初等數(shù)學中的應用[J]，運城高等專科學校學報，2002,20(3)： 12-13&l

111、t;/p><p>　　[7]陳亮，張帆，線性方程組理論在初等數(shù)學教學中的應用[J]，湖州職業(yè)技術學院學報，2007(3)：82-83</p><p>　　[8]周曉渝，高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用[J]，科技信息，2009(30)：490</p><p>　　[9]聶晶品，微積分方法在初等數(shù)學教學中的應用[J]，高等函授學報，2009(5)：88-90</p>

112、<p>　　[10]林廷山，李明輝，略談高等數(shù)學在初等數(shù)學教學中的作用[J]，南寧師范高等?？茖W校學報，2000(2)：67-69</p><p>　　[11]王奇，任文龍，李慧，高等代數(shù)在初等數(shù)學中的一些應用[J]，甘肅聯(lián)合大學學報，2008(22)：55-57</p><p>　　[12]朱桂英，王雪峰，高等數(shù)學在證明不等式中的應用[J]，科技信息，2006(4)：117