對稱Hamilton系統中相對平衡點的穩(wěn)定性研究及其應用.pdf

1、對稱性是自然界中普遍存在的現象,具有對稱性的系統當中蘊含著某些重要的守恒性質。對于一般的動力系統,人們通?？紤]的是系統中平衡點的穩(wěn)定性,而對于具有對稱性的Hamilton系統,相對平衡點成為人們研究的主要對象,因為它是相空間中相對特殊的點,即通過該點的軌跡恰好是一條群軌道,見定義3.2.1。在物理應用中,唯一可觀測的平衡點是那些在小擾動下穩(wěn)定的點,類似地,對稱Hamilton系統中唯一可觀測的相對平衡點也是那些在某些意義下穩(wěn)定的點,也就

2、是下面介紹的Gμ-穩(wěn)定相對平衡點,這也是經典力學的一個核心問題。正是由于對稱性和哈密頓結構的存在,對稱Hamilton系統中相對平衡點的穩(wěn)定性分析顯得格外重要。自上世紀末以來,Marsden,Otega等人在這方面進行了深入的研究,很多現代辛幾何和Poisson幾何的理論以及約化理論被廣泛的應用到相對平衡點的穩(wěn)定分析當中,產生了能量-開西米爾方法、能量-動量方法。隨后,這些方法被廣泛的應用到剛體力學和流體動力學的穩(wěn)定性分析之中,并取得了

3、很多有價值的結果。 本文可以分為以下四個部分： 第一部分總結了動力系統中平衡點的各種穩(wěn)定性的定義及判別準則,回顧了與對稱Hamilton系統有關的基礎概念,包括李群作用、標準動量映射,這為本文的研究奠定了基礎。 第二部分介紹了對稱系統的正則點約化理論,討論了正則相對平衡點穩(wěn)定性以及能量-動量方法、分塊對角化方法,并研究了能量-動量方法與能量-開西米爾方法之間的關系。 第三部分在第二部分的基礎上進一步研究了