幾類平面微分系統(tǒng)的廣義中心、等時中心與極限環(huán)分枝.pdf

1、本篇博士論文以計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)為工具對幾類平面微分系統(tǒng)的極限環(huán)分枝、中心與廣義中心問題、等時中心問題進(jìn)行了一些研究，同時將已有理論應(yīng)用到生態(tài)系統(tǒng)中去研究一些生態(tài)模型的定性性質(zhì).全文共分七章. 第一章對平面多項式微分系統(tǒng)的極限環(huán)分枝、中心與等時中心以及定性與分枝理論在生態(tài)系統(tǒng)中的應(yīng)用等問題的歷史背景和研究現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述，并歸納了本文的特色工作. 第二章給出了一種尋找zn等變系統(tǒng)的簡便方法，并對zn等變向量場中的微分系統(tǒng)的一些

2、性質(zhì)做了一些歸納總結(jié).同時，以一類Z8-等變對稱的七次系統(tǒng)為研究示例，在個人計算機(jī)上推導(dǎo)出八個拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同的焦點中其中一個的前5個奇點量，進(jìn)而得出其前5階焦點量，并得出由八個拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同的焦點共可在一定條件下分支出40個極限環(huán)的好的實例，同時找出了它的分枝條件及極限環(huán)穩(wěn)定性的判斷條件. 第三章主要是關(guān)于三次系統(tǒng)等變對稱結(jié)構(gòu)的分析和幾類具有等變對稱性的三次系統(tǒng)的極限環(huán)分支的研究，一種尋找等變對稱系統(tǒng)的方法被給出.并對未曾研究過的具

3、有不同等變對稱結(jié)構(gòu)的三次系統(tǒng)(即Z∞等變對稱的三次系統(tǒng)、Z3等變對稱的三次系統(tǒng)、Z4等變對稱的三次系統(tǒng))的定性與分支行為進(jìn)行了一一的研究.本章的工作是現(xiàn)有研究結(jié)論的有益的補(bǔ)充.(這一結(jié)論已經(jīng)提交給《湘潭大學(xué)學(xué)報》) 第四章主要研究了一類廣義對稱的平面九次微分自治系統(tǒng)的中心焦點問題與極限環(huán)分枝行為.通過作Bendixson倒徑變換與時間變換，以及廣義焦點量的仔細(xì)計算，我們得出了該系統(tǒng)的無窮遠(yuǎn)點與三個初等奇點能夠同時成為廣義中心的條

4、件，并進(jìn)行了嚴(yán)格的證明.同時我們得出在一定條件下，這四個廣義焦點能夠分枝出20個極限環(huán)的結(jié)果，其中包括5個大振幅極限環(huán)和15個小振幅極限環(huán).這種結(jié)論到目前為止是新的. 第五章研究一類廣義等變對稱的九次系統(tǒng)，通過周期常數(shù)(或稱為等時常數(shù))的計算與分析，找出了無窮遠(yuǎn)點與三個初等奇點同時成為等時中心(或稱為可線性化中心)的必要條件，進(jìn)一步證明了這些必要條件也是充分條件.無窮遠(yuǎn)點與幾個初等奇點同時成為等時中心的結(jié)論是第一次給出，在以往的

5、文獻(xiàn)中未有發(fā)現(xiàn)，我們的結(jié)論有一定意義. 第六章研究一類擬對稱七次系統(tǒng)的廣義中心、等時中心與極限環(huán)分枝問題，得出了該系統(tǒng)的無窮遠(yuǎn)點與初等奇點同時成為廣義中心與等時中心的條件并進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，進(jìn)一步給出該系統(tǒng)可以由無窮遠(yuǎn)點分枝出5個赤道環(huán)的同時還可以由初等奇點分枝出5個小振幅極限環(huán).這種結(jié)論是罕見的，本章的結(jié)論是新的. 第七章利用微分方程定性與分支理論研究了一類食餌具有常投放的稀疏效應(yīng)捕食系統(tǒng)，得到了存在唯一極限環(huán)和不存在