基于間斷有限元方法的光子晶體計算.pdf

1、本文主要研究與光子晶體有關(guān)的微分算子譜的逼近理論與應(yīng)用。
　　光子晶體是具有折射率的材料在空間中周期排布形成的結(jié)構(gòu)。在適當(dāng)?shù)牟牧咸匦院途w的幾何形狀的條件下，某些頻率的光是不能在里面?zhèn)鞑サ模曳瓷渎士蛇_百分之百，而其他電磁波可以幾乎無損耗地傳播，這一特性可以用來控制電磁波的傳播和輻射。Maxwell方程可以用來描述電磁波在其中傳播時的行為，而且模型精確性很高，其模擬結(jié)果和實驗觀測相差較小，是研究光子晶體電磁特性的一種重要途徑。<

2、br>　　首先，我們分析了帶周期系數(shù)的Maxwell方程的間斷有限元離散。全空間中的Maxwell算子的譜是連續(xù)的，無法通過數(shù)值計算來逼近。通過Bloch/Floquet理論，將R3中的帶周期系數(shù)的Maxwell算子轉(zhuǎn)化為具有周期邊界的問題，這樣就可以采用修正的Nédélec基函數(shù)來構(gòu)造間斷有限元格式進行數(shù)值逼近。我們證明了混合間斷有限元格式的收斂性。然而，這種收斂只是點點收斂，而對于有界算子，數(shù)值特征值的正確收斂與其數(shù)值算子的一致收斂

3、是充要條件。為此，我們分析數(shù)值解空間的離散緊性，證明了該數(shù)值算子是一列相對緊算子，繼而證明了其收斂是一致收斂。我們還證明了數(shù)值特征值的收斂速度是基函數(shù)次數(shù)與解的正則性最小值的兩倍，該結(jié)果在二維和三維的數(shù)值例子上得到了驗證。最后我們應(yīng)用這些方法計算了幾種常見的光子晶體模型的能帶結(jié)構(gòu)。
　　當(dāng)光子晶體的材料性質(zhì)為非線性時，會導(dǎo)出非線性特征值問題。我們主要研究了Drude模型和Lorentz模型等有理型非線性模型所產(chǎn)生的多項式特征值問題

4、。我們將多項式特征值問題處理成與其具有相同譜的線性化算子來分析。而線性化算子通常不是有界算子，不能再用范數(shù)來描述其數(shù)值算子的收斂性。為此我們引入gap作為衡量算子間距離的工具，將緊算子或有界算子譜的逼近理論推廣到了一般的線性算子，然后應(yīng)用其構(gòu)造了多項式特征值問題的逼近理論。我們研究了多項式特征值問題中的本質(zhì)譜，證明了本質(zhì)譜在相對緊攝動下的穩(wěn)定性。對于用具有有理型非線性介電常數(shù)的材料制成的晶體，即使其幾何形狀不同，其本質(zhì)譜保持不變。這樣我