誤差理論與數據處理總結

1、第一章 第一章 緒 論 第一節(jié) 第一節(jié) 研究誤差的意義 研究誤差的意義 一、研究誤差的意義 1、正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因，以消除或減少誤差。 2、正確處理測量和實驗數據，合理計算所得結果，以便在一定條件下得到更接近于真值的數據。 3、正確組織實驗過程，合理設計儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經濟條件下，得到最理想結果。 4、研究誤差可促進理論發(fā)展。 （如雷萊研究：化學方法、空氣分離方法。制氮氣時，密度不同，導

2、致后人發(fā)現(xiàn)惰性氣體。 ） 第二節(jié) 第二節(jié) 誤差基本概念 誤差基本概念 一、誤差定義及表示方法 一、誤差定義及表示方法 （一）定義：被測量的值與真值差異在數值上的表現(xiàn)—誤差。誤差=測得尺寸—真實尺寸 （二）誤差表示方法（測量誤差可用絕對誤差表示，也可用相對誤差表示） 1、絕對誤差 （測量誤差） 方向（+ —） 、單位、大小。 ?絕對誤差 絕對誤差=測得值 測得值—真值 真值

3、 在實際工作中常用到修正值：為減少或消除系統(tǒng)誤差一種處理方法。 修正值 修正值=真值 真值—測量值 測量值=—絕對誤差 絕對誤差 2、? ? 絕對誤差絕對誤差 相對誤差真值測量值相對誤差：（1）有大小、方向（+ —） 、無單位。常用%表示。（2）對于相同的被測量，可用絕對誤差評定精度。對于不同的被測量或不同的物理量，可用相對誤差評定精度。 3、引用誤差：指的是儀器儀表表示值的相對誤差。儀器儀表示值誤差=示值—真值 引用誤差

4、引用誤差=示值誤差 示值誤差/測量范圍上限 測量范圍上限 rm=ΔXm / Xm 儀器標稱范圍或量程內的最大絕對誤差 / 該標稱范圍（或量程）上限 有大小，有方向，無單位，相對量程而言。 等級 S 級：rm≤S% 所產生的最大絕對誤差：ΔXm=±Xm×S% 最大相對誤差為：rx=ΔXm / X=±Xm/x×S% 說明：（1）量程相同的表，精度等級高，測量精度高。 量程不同的表

5、，精度等級高，測量精度不見得高。 （2）儀表量程選用最好測量值在量程 2/3 左右為好，能充分發(fā)揮儀表精度等級作用。 二、誤差來源 二、誤差來源 在測量過程中，按誤差產生的原因可歸納為： （一）測量裝置誤差 （一）測量裝置誤差 1、標準量具誤差 2、儀器誤差： 3、附件誤差： （二）環(huán)境誤差 （二）環(huán)境誤差 測量時各種環(huán)境因數與規(guī)定的標準狀態(tài)不一致造成的誤差 （三） （三） 、方法誤差 、方法誤差 由于測量方法不完善

6、所引起的誤差。 （四） （四） 、人員誤差 、人員誤差 分辨能力、視覺器官的生理變化、習慣、疏忽等引起的誤差。 三、誤差分類 三、誤差分類 按誤差的特點和性質，誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差（也稱偶然誤差）和粗大誤差三類。 （一）系統(tǒng)誤差 （一）系統(tǒng)誤差 在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差—系統(tǒng)誤差。 如標準量值不準、一起刻度不準確引起的誤差。 系統(tǒng)誤差又可按

7、下列分類： 1、按對誤差掌握的程度分 （1）已定系統(tǒng)誤差：指誤差的絕對值和符號已確定 （2）未定系統(tǒng)誤差：指誤差的絕對值和符號未確定，但可的出誤差范圍。 2、按誤差出現(xiàn)規(guī)律分 （1）不變系統(tǒng)誤差：（指絕對值和符號一定）相當于以定系統(tǒng)誤差。 （2）變化系統(tǒng)誤差：（指絕對值和符號為變化）相當于未定系統(tǒng)誤差，但變化規(guī)律可知，如線性、周期性等。 （二）隨機誤差 （二）隨機誤差（random error） 在相同測量條件下，多次測量同

8、一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差—隨機誤差。 （三）粗大誤差 （三）粗大誤差 指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預期值的誤差—粗大誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差、寄生誤差或簡稱粗差。 第三節(jié) 第三節(jié) 精 度 定義：反映測量結果與真值接近程度的量。與誤差的大小相對應，因此可用誤差大小來表示精度的高低，誤差小則精度高，誤差大則精度低。 精度可分為： （1）準確度：系統(tǒng)誤差 （2）精密度：隨機誤差 （3）精確度：系統(tǒng)誤差和隨機誤

9、差。其定量特征可用測量的不確定度（極限誤差）來表示。 精度在數量上可用相對誤差表示，如相對誤差為 0.01%，可 ?以說精度為 。 4 10?a：彈著點全部在靶上，但分散。相當于系統(tǒng)誤差小而隨機誤差大，即精密度低，正確度高。 b：彈著點集中，但偏向一方，命中率不高。相當于系統(tǒng)誤差大而隨機誤差小，即精密度高，正確度低。 c：彈著點集中靶心。相當于系統(tǒng)誤差與隨機誤差均小，即精密度、正確度都高，從而準確度亦高。 第四節(jié) 第四節(jié) 有效數

10、字與數據運算 有效數字與數據運算 一、有效數字 一、有效數字 含有誤差的任何近似數，如果其絕對誤差界是最末位數的半個單位，那么從這個近似數左方起的第一個非 0 的數字，稱為第一位有效數字。從第一位有效數字起到列最末一位數字止的所有數字，無論 0 或非 0，都是有效數字。 二、數字舍入規(guī)則（湊整） 二、數字舍入規(guī)則（湊整） “四舍六入逢五取偶” 三、數據運算規(guī)則 三、數據運算規(guī)則 在有效數據后多保留一位參考（安全）數字。

11、（1）近似加減運算。結果應與小數位數最少的數據小數位數相同。 （2）近似乘除運算。運算以有效位最少的數據位數多取一位，結果位數相同。 （3）近似平方或開方運算。 按乘除運算處理。 （4）對數運算。 n 位有效數字的數據該用 n 位對數表，或（n+1）位對數表。 （5）三角函數。角度誤差 '' 10 '' 1 '' 0.1 '' 0.01函數值位數 5

12、 6 7 8 第二章 第二章 誤差的基本性質與處理 誤差的基本性質與處理 第一節(jié) 第一節(jié) 隨機誤差 隨機誤差 定義：在相同條件下多次重復測量同一量時，以不可預定的方式變化的（但具有統(tǒng)計規(guī)律的）測量誤差—隨機誤差。 （在等精度 等精度測量條件下） 一、隨機誤差產生的原因 一、隨機誤差產生的原因 1、測量裝置方面：零部件配合的不穩(wěn)定性，零部件的變形，零件表面油膜不均勻，摩擦等。 2、環(huán)境方面：溫度、氣

13、壓、 ，光照強度、灰塵及電磁場變化。 3、人員方面：瞄準方向的不穩(wěn)定，讀數的不穩(wěn)定。 二、隨機誤差的統(tǒng)計特性 二、隨機誤差的統(tǒng)計特性—正態(tài)分布 正態(tài)分布 多數隨機誤差服從正態(tài)分布（不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差） ，有以下四個特征； 1、對稱性： 2、單峰性： 3、有界性： 4、抵償性： 隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律： 設被測量的真值為 ，一系列測得值為 。則測量列中的隨 0 L i l機誤差 為 式中 。 i ? 0

14、i i l L ? ? ? 1,2, i n ? ?正態(tài)分布密度 ? ? ? ?22 2 12f e?? ?? ???分布函數 ? ? ? ?22 2 12F e d?? ? ? ?? ???? ? ?—標準差（方均根誤差） —自然對數的底=2.7182。 。 。 ? e數學期望 ? ? 0 E f d ? ? ????? ? ? ?方差 ? ?2 2 f d ? ? ?

15、 ????? ? ?平均誤差 ? ? 4 0.7979 5 f d ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?此外由 ? ?2 12 f d?? ? ?? ? ?可解得或然誤差為 2 0.6745 3 ? ? ? ? ?正態(tài)分布曲線以及各精度參數在圖中的坐標。 —曲線上拐點 A 的橫坐標 —曲線右半部面積重心 ? ?B 的橫坐標 —右半部面積的平分線

16、的橫坐標。 ?三、算術平均值 三、算術平均值 1、公理：一系列等精度測量，則 。 —真值 0 i i l L ? ? ? 0 L隨機誤差的代數和 ? ? 0 01 1 1n n ni i ii i il L l nL ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 10n ni ii ilL n?? ??? ? ?根據正態(tài)分布隨機誤差的對稱性，當 ，n ? ? 0 in???? ?所以 即無限多次測量的算術平均值即為真值 1

17、0niilx L n? ? ? ????2、殘余誤差=測量值—平均值 即 i i V l x ? ????3、算術平均值的校核方法： （1） ， 而 1nii lx n? ? ? ? ? ? ? :11 1 0ni n nii ii ilV l n n n?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? : :（2）殘余誤差代數和絕對值 應

18、符合： 1niiV? ?當 n 為偶數時，則 ； 1 2niin V A? ? ?當 n 為奇數時，則 ； A 為末位數10.5 2niin V A?? ? ? ? ? ? ? ? ? x ???的一個單位。 多數情況下用規(guī)則（2）來校核。 四、測量的標準差（方均根誤差） 四、測量的標準差（方均根誤差）?0 c x x x ? ?? ? ?0 x x x ? ? ?3 若 ，則認為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。 2 1 u

19、 n ? ? ?（四）不同公式計算標準差比較法 （四）不同公式計算標準差比較法： 按貝塞爾公式 211 1niiVn ? ? ? ??按別捷爾斯公式 ? ?12 1.253 1niiVn n ? ? ? ??令 ，若 ，則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤 211 u ? ? ? ? 21 u n ? ?差。 （五）計算數據比較法： （五）計算數據比較法： （測量組間） 若對

20、同一量獨立測量 m 組結果，并知它們的 和 x ??? i ?為 。而任意兩組結果之差為 1 1 2 2 , , m m x x x ? ? ? ??? ??? ??? ?，其標準差為 。則任意兩 i j x x ? ? ? ??? ??? 2 2i j ? ? ? ? ?組結果 和 間不存在系統(tǒng)誤差的標志是： i x ??? j x ???2 2 2 i j i j x x ? ? ? ? ? ??? ???（六）秩和檢驗法

21、六）秩和檢驗法 （用于兩組數據） 兩組數據：i x 1,2, x i n ? ? j y 1,2, y j n ? ?將它們混合后，按大小順序重新排列，取測量次數較少的那一組，數出它的測量值在混合后的次序 9（秩）再將所有測得值的次序相加，即得秩和 T。 當兩組測量次數 ，可根據次數較少組的次數 和 1 2 , 10 n n ? 1 n較多的組的次序 ，由秩和檢驗表 2-10（P14）查得 和 2 n T? T?（顯著度為

22、 0.05） ，若 ，則無根據懷疑兩組間存在 T T T ? ? ? ?系統(tǒng)誤差。 （七） （七）t 檢驗法 檢驗法（利用 t 分布進行的檢驗） （測量組間） 若獨立測得兩組數據（服從正態(tài)分布）為 i x 1,2, x i n ? ?j y 1,2, y j n ? ?令變量 ? ? ? ?? ?? ?2 22 x y x yx y x x y yn n n nt x yn n n n ? ?? ??

23、?? ?式中：1ixx x n ? ? 1iyy y n ? ?? ?2 1x ixx x n ? ? ? ? ? ?2 1y iyy y n ? ? ? ?取顯著度 ，由 t 分布表（附錄表 3）查得 ?中 。若實測數列中算出之 ，則無根 ? ? P t t? ? ? ? t? t t? ?據懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。 第一類（前四種）用于發(fā)現(xiàn)測量列組內的系統(tǒng)誤差；第二類（后3 種）用于發(fā)現(xiàn)各組測量之間的系統(tǒng)誤差。 四、系統(tǒng)誤差的減小和消

24、除 四、系統(tǒng)誤差的減小和消除 （一）從產生根源上消除系統(tǒng)誤差 （二）用修正的方法消除系統(tǒng)誤差 （三）不變系統(tǒng)誤差消除法 1、代替法：2、抵消法：3、交換法： （四）線性系統(tǒng)誤差消除法—對稱法 （五）周期性系統(tǒng)誤差消除法—半周期法 （六）復雜系統(tǒng)誤差的消除方法 第三節(jié) 第三節(jié) 粗大誤差 粗大誤差 一、粗大誤差產生的原因 一、粗大誤差產生的原因 （1）客觀外界條件的原因：機械沖擊、外界震動、電網供電電壓突變、電磁干擾等測

25、量條件意外地改變 ，引起儀器示值或被測對象位置的改變而產生粗大誤差 （2）測量人員的主觀原因：測量者工作責任性不強，工作過于疲勞，對儀器熟悉與掌握程度不夠等原因，引起操作不當，或在測量過程中不小心、不耐心、不仔細等，從而造成錯誤的讀數或錯誤的記錄 二、防止與消除粗大誤差的方法 二、防止與消除粗大誤差的方法 （1）加強測量人員培訓，增強責任心 （2）保證測量條件穩(wěn)定 （3）不同條件測量同一值（如兩組人員、兩臺儀器、兩種測量

26、方法）相互比較 三、判別粗大誤差的準則 三、判別粗大誤差的準則 P45 （1） 3σ準則 σ準則 （萊以特準則） （n 充分大，正態(tài)分布） 對某個可疑數據 ，若d x 3 d d x x ? ? ? ? ?含有粗差，可剔除；否則予以保留。 d x在 n≤10 的情形，用 3σ準則剔22 1 11 3niiiVV n ? ? ? ? ???除粗差注定失效 ，取 2 ( ) 1 d i x x x x

27、 n ? ? ? ? ? ? ?n≤10， 恒成立。因此本法測量次數應 3 d x x ? ? ? 10 n ?，且越大越好。 （2）羅曼諾夫斯基準則 ）羅曼諾夫斯基準則（t 檢驗準則，n 較少，n<=10，t 分布） 方法：首先剔除一個可以的測量值 ，計算余下的 、 ， j x x ?根據原測量次數 n 和選取的顯著度 ，查表 2-12（ ）得 ? 45 ?t 校驗數 。 ? ? , K n ?若 ， 則認為 含

28、有粗大誤差，棄去 ， j x x K? ? ? j x j x再繼續(xù)上述步驟判斷，否則 不含粗大誤差，應保留。 j x（3）格羅布斯準則 ）格羅布斯準則 (測量列中含有一個異常值效率高) 對某個可疑數據 ，若d x ( , ) d x x G n ? ? ? ?—貝塞爾公式計算的標準差 （2-92） ?含有粗差，可剔除；否則予以保留。 d x（4）狄克松 ）狄克松(Dixon)準則 準則

29、（多個異常值,速度快） 正態(tài)測量總體的一個樣本 ，按從大到小順序 1 2 , ,..., n x x x排列為 。構造統(tǒng)計量： 1 2 , ,..., n x x x ? ? ?與 3 ~ 7 n ? 1101n nnx x r x x? ? ? ? ? ? ? ?2 1101 nx x r x x? ? ? ? ? ? ? ?與 8 ~10 n ? 1112n nnx x r x x? ? ? ? ?

30、 ? ? ?2 1111 1 nx x r x x ?? ? ? ? ? ? ? ?與 11~13 n ? 2212n nnx x r x x? ? ? ? ? ? ? ?2 1111 1 nx x r x x ?? ? ? ? ? ? ? ?與 14 ~ 30 n ? 2223n nnx x r x x? ? ? ? ? ? ? ?3 1222 1 nx x r x x ?? ? ? ? ? ? ? ?若

31、則判斷 為異常值。 , ( , ) ij ij ij r r r D n ? ? ? ? n x?，則判斷 為異常值。否則，判斷沒 , ( , ) ij ij ij r r r D n ? ? ? ? ? 1 x?有異常值。 四、總結 四、總結 （1）大樣本情形（n＞50） ，用 3σ準則最簡單方便；30＜n＜50 情形，用 Grubbs 準則效果較好； 情形，用 3 30 n ? ?Grubbs 準則適用于剔除單個異常值，用 Di

32、xon 準則適用于剔除多個異常值。 （2）在實際應用中，較為精密的場合可選用二三種準則同時判斷，若一致認為應當剔除時，則可以比較放心地剔除；當幾種方法的判定結果有矛盾時，則應當慎重考慮，通常選擇，且在可剔與不可剔時，一般以不剔除為妥。 第三章 第三章 誤差的合成與分配 誤差的合成與分配 第一節(jié)函數誤差 第一節(jié)函數誤差 間接測量：通過直接測得的量與被測量之間的函數關系計算出被測量。 函數誤差：間接測得的被測量誤差也應是直接測得量

33、及其誤差的函數，稱這種間接測量的誤差為函數誤差 一、函數系統(tǒng)誤差計算 一、函數系統(tǒng)誤差計算 間接測量的數學模型 ： 。 1 2 ( , ,..., ) n y f x x x ?為各個直接測量值，y 為間接測量值。 1 2 , , , n x x x ?函數的系統(tǒng)誤差 的計算公式： dy1 21 2... nnf f f dy dx dx dx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 21 2... nnf

34、f f y x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中 為各個輸入量在該測量點 ( 1,2, , ) i f x i n ? ? ? ?處的誤差傳遞系數。 1 2 ( , , , ) n x x x ?1、線性函數： 1 1 2 2 ... n n y a x a x a x ? ? ? ?系統(tǒng)誤差公式： 1 1 2 2 ... n n y a x a x a x ? ?

35、 ? ? ? ? ? ?當， 1 i a ? 1 2 ... n y x x x ? ? ? ? ? ? ? ?上式說明當函數為各測量值之和時，其函數系統(tǒng)誤差亦為各個測量值系統(tǒng)誤差之和 。 2、三角函數形式 ? ? 1 2 sin , ,..., n f x x x ? ?11cosnii if x x ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 1 2 cos , ,..., n f x x x ? ?11 si

36、nnii if x x ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? 1 2 tan , ,..., n f x x x ? ? 21cosnii if x x ? ??? ? ? ? ? ?? ? 1 2 cot , ,..., n f x x x ? ? 21sinnii if x x ? ??? ? ? ? ? ? ?二、函數隨機誤差計算 二、函數隨機誤差計算 對各個測量值皆進行了 N 次等精度測量，其相應的隨機誤差為： 對 ：