第四單元向量數(shù)乘運算和其幾何意義

1、第四單元第四單元向量數(shù)乘運算及其幾何意義向量數(shù)乘運算及其幾何意義教學(xué)目標教學(xué)目標1、通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運算法則及幾何意義的過程，掌握實數(shù)與向量積的定義，理解實數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實數(shù)與向量的積的運算律。2、理解兩個向量共線的等價條件，能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行。3、通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神。通過解決具體問題，體會數(shù)學(xué)在生活中的重要作用。重點難點重點難點教學(xué)

2、重點：1、實數(shù)與向量積的意義。2、實數(shù)與向量積的運算律。3、兩個向量共線的等價條件及其運用。教學(xué)難點：對向量共線的等價條件的理解運用。教學(xué)過程教學(xué)過程導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課思路思路前面兩節(jié)課，我們一起學(xué)習了向量加減法運算，這一節(jié)，我們將在加法運算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡便計算及推廣。在代數(shù)運算中，aaa=3a，故實數(shù)乘法可以看成是相同實數(shù)加法的簡便計算方法，那么相同向量的求和運算是否也有類似的簡便計算。推進新課推進新課新知探究新知探究提出問題

3、提出問題①已知非零向量a，試一試作出aaa和(a)(a)(a)。②你能對你的探究結(jié)果作出解釋，并說明它們的幾何意義嗎③引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？活動活動引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識并猜想結(jié)果，對于運算律的驗證，點撥學(xué)生通過作圖來進行。通過學(xué)生的動手作圖，讓學(xué)生明確向量數(shù)乘運算的運算律及其幾何意義。教師要引導(dǎo)學(xué)生特別注意0a=0，而不是0a=0。這個零向量是一個特殊的向

4、量，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會出錯，所以要引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關(guān)系。實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加、減運算，比如λa，λa都無法進行。向量數(shù)乘運算的運算律與實數(shù)乘法的運算律很相似，只是數(shù)乘運算的分配律有兩種不同的形式：(λμ)a=λaμa和λ(ab)=λaλb，數(shù)乘運算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等，方向相同。判斷兩個向量是否平行(共線)，實際上就是看能否找出一個實數(shù)，使得這個實數(shù)乘以其中一個向

5、量等于另一個向量。一定要切實理解兩向量共線的條件，它是證明幾何中的三點共線和兩直線平行等問題的有效手段。對問題①，學(xué)生通過作圖1可發(fā)現(xiàn)，==aaa。類似數(shù)的乘法，OCOAABBC可把aaa記作3a，即=3a。顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度OC的3倍，即|3a|=3|a|。同樣，由圖1可知，解：解：(1)原式=(34)a=12a(2)原式=3a3b2a2ba=5b(3)原式=2a3bc3a2bc=a5b2c。點評點評運

6、用向量運算的運算律，解決向量的數(shù)乘。其運算過程可以仿照多項式運算中的“合并同類項”。變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練若3m2n=a，m3n=b，其中a，b是已知向量，求m，n。解：因3m2n=a，①m3n=b。②3②得3m9n=3b。③①③得11n=a3b。∴n=ab。④111113將④代入②，有m=b3n=ab。113112點評點評此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n。在此題求解過程中，利用了實數(shù)與向量的積以及它所滿足的交

7、換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數(shù)的二元一次方程組的方法一致。圖2例2如圖2，已知任意兩個非零向量a、b，試作=ab，=a2b，OAOBOC=a3b。你能判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系嗎為什么圖3解：解：如圖3分別作向量、過點A、C作直線AC。觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量OAOC、OBa、b怎樣變化，點B始終在直線上，猜想A、B、C三點共線。AC事實上，因為==a2b(ab)=b，而==a3b(ab)=2b，于ABOBOAA