第四單元向量數乘運算和其幾何意義

1、第四單元第四單元向量數乘運算及其幾何意義向量數乘運算及其幾何意義教學目標教學目標1、通過經歷探究數乘運算法則及幾何意義的過程，掌握實數與向量積的定義，理解實數與向量積的幾何意義，掌握實數與向量的積的運算律。2、理解兩個向量共線的等價條件，能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行。3、通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神。通過解決具體問題，體會數學在生活中的重要作用。重點難點重點難點教學

2、重點：1、實數與向量積的意義。2、實數與向量積的運算律。3、兩個向量共線的等價條件及其運用。教學難點：對向量共線的等價條件的理解運用。教學過程教學過程導入新課導入新課思路思路前面兩節(jié)課，我們一起學習了向量加減法運算，這一節(jié)，我們將在加法運算基礎上研究相同向量和的簡便計算及推廣。在代數運算中，aaa=3a，故實數乘法可以看成是相同實數加法的簡便計算方法，那么相同向量的求和運算是否也有類似的簡便計算。推進新課推進新課新知探究新知探究提出問題

3、提出問題①已知非零向量a，試一試作出aaa和(a)(a)(a)。②你能對你的探究結果作出解釋，并說明它們的幾何意義嗎③引入向量數乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數乘向量與原向量之間的位置關系嗎怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？活動活動引導學生回顧相關知識并猜想結果，對于運算律的驗證，點撥學生通過作圖來進行。通過學生的動手作圖，讓學生明確向量數乘運算的運算律及其幾何意義。教師要引導學生特別注意0a=0，而不是0a=0。這個零向量是一個特殊的向

4、量，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會出錯，所以要引導學生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關系。實數與向量可以求積，但是不能進行加、減運算，比如λa，λa都無法進行。向量數乘運算的運算律與實數乘法的運算律很相似，只是數乘運算的分配律有兩種不同的形式：(λμ)a=λaμa和λ(ab)=λaλb，數乘運算的關鍵是等式兩邊向量的模相等，方向相同。判斷兩個向量是否平行(共線)，實際上就是看能否找出一個實數，使得這個實數乘以其中一個向

5、量等于另一個向量。一定要切實理解兩向量共線的條件，它是證明幾何中的三點共線和兩直線平行等問題的有效手段。對問題①，學生通過作圖1可發(fā)現(xiàn)，==aaa。類似數的乘法，OCOAABBC可把aaa記作3a，即=3a。顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度OC的3倍，即|3a|=3|a|。同樣，由圖1可知，解：解：(1)原式=(34)a=12a(2)原式=3a3b2a2ba=5b(3)原式=2a3bc3a2bc=a5b2c。點評點評運

6、用向量運算的運算律，解決向量的數乘。其運算過程可以仿照多項式運算中的“合并同類項”。變式訓練變式訓練若3m2n=a，m3n=b，其中a，b是已知向量，求m，n。解：因3m2n=a，①m3n=b。②3②得3m9n=3b。③①③得11n=a3b?！鄋=ab。④111113將④代入②，有m=b3n=ab。113112點評點評此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n。在此題求解過程中，利用了實數與向量的積以及它所滿足的交

7、換律、結合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數的二元一次方程組的方法一致。圖2例2如圖2，已知任意兩個非零向量a、b，試作=ab，=a2b，OAOBOC=a3b。你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎為什么圖3解：解：如圖3分別作向量、過點A、C作直線AC。觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量OAOC、OBa、b怎樣變化，點B始終在直線上，猜想A、B、C三點共線。AC事實上，因為==a2b(ab)=b，而==a3b(ab)=2b，于ABOBOAA