§高階線性微分方程_第1頁(yè)
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1、1班級(jí):班級(jí):1212統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)姓名:龔偉姓名:龔偉學(xué)號(hào)學(xué)號(hào):120314103:120314103高階線性微分方程高階線性微分方程線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)1線性微分方程線性微分方程定義定義4.14.1形如的方程稱)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn?????????為階線性微分方程階線性微分方程,其中是已知函數(shù)。n)()()()(21xfxPxPxPn?注:(1)特點(diǎn):都是一次的;從而稱

2、為線性方程。yyyynn)1()(???(2)時(shí),稱為階線性齊次微分方程;0)(?xfn否則,稱為階線性非齊次微分方程。階線性非齊次微分方程。n(3)特別地,當(dāng)時(shí),2?n(4.1))()()(xfyxQyxPy??????稱為二階線性微分方程二階線性微分方程。時(shí),有,(4.2)0)(?xf0)()(??????yxQyxPy稱為二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程;否則,稱為二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程。2線性微分方

3、程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理(解的疊加性定理(解的疊加性)如果函數(shù)與是方程(4.2)的兩個(gè)解,那么)(1xy)(2xy也是方程(4.2)的解,其中與是任意常數(shù)。)()(2211xyCxyCy??1C2C驗(yàn)證驗(yàn)證:因?yàn)槭欠匠?4.2)的解,所以21yy,。0)()(111??????yxQyxPy0)()(222??????yxQyxPy將解代入方程(4.2)的左端,得)()(2211xyCxyCy??))(())(()(22112

4、2112211yCyCxQyCyCxPyCyC???????=))()(())()((22221111yxQyxPyCyxQyxPyC???????????。0?問(wèn)題問(wèn)題與是(4.2)的解,由定理1,也是)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy??3答:因常數(shù)。函數(shù)對(duì)對(duì)線性無(wú)關(guān);xxx12??2xx0?x因常數(shù)。函數(shù)對(duì)對(duì)線性無(wú)關(guān);xxeexx1????xxxee??0?x因=常數(shù)。函數(shù)對(duì)對(duì)線性相關(guān)。21222???xx2xx0

5、?x以下給出關(guān)于二階線性齊次微分方程(4.2)的通解結(jié)構(gòu)定理。定理定理4.2(4.2(二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理)如果函數(shù)與)(1xy)(2xy是方程(4.2)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則(是任意常)()(2211xycxycy??21cc數(shù))就是方程(4.2)的通解。例4.2驗(yàn)證=與=是二階線性齊次微分方程的兩1yxcos2yxsin0????yy個(gè)解;寫出其通解。解將=與=代入方程可驗(yàn)證其是解。

6、1yxcos2yxsin0????yy由常數(shù),即與線性無(wú)關(guān)。所以,由定理4.2,???xxxyytancossin121y2y是的通解。xCxCysincos21??關(guān)于二階線性非齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu),先回憶一階線性非齊次微分方程,它的通解的結(jié)構(gòu)是)()(xQyxPy???y,???yYy其中,為方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解,為方程的一個(gè)特解。Y?y對(duì)于二階及二階以上的線性齊次微分方程,也有同樣的解的結(jié)構(gòu)。下面來(lái)討論二階線性非齊次微分

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