信號與系統(tǒng)分析宗偉 3

1、在滿足狄氏條件時，可展成,稱為三角形式的傅里葉級數，其系數,1．三角函數形式的傅里葉級數,3.1周期信號的頻譜分析——傅里葉級數,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,其他形式,余弦形式,正弦形式,關系曲線稱為幅度頻譜圖,關系曲線稱為相位頻譜圖,可畫出頻譜圖,周期信號頻譜具有離散性，諧波性，收斂性,幅度頻率特性和相位頻率特性,連續(xù)時間周期信號可以用指數形式傅立葉級數表示為,其中,兩項的基波頻率為f0，兩項合起來稱為信號的基波分量,

2、的基波頻率為2f0，兩項合起來稱為信號的2次諧波分量,的基波頻率為Nf0，兩項合起來稱為信號的N次諧波分量,物理含義：周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數信號之和。,2. 指數形式傅立葉級數,相頻特性,幅頻特性和相頻特性,幅頻特性,3．確定信號的基頻和周期,當不考慮信號的直流分量時, 的3個分量的角頻率分別時1/2,2/3,和7/6,相鄰兩個頻率之比為3/4,4/7,和3/7,顯然三者之間呈現諧波關系,他們之中的最大公約數時

3、1/6,因此1/6是基頻 ,也就時說該信號具有3次,4次和7次諧波,進一步可求得周期,討論,4．周期矩形脈沖信號的頻譜,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x(t),Fn,t,0,0,,,E,T,-T,,,,,,5.信號的頻帶寬度,在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。,3.2 非周期信號的頻譜分析 ─

4、 傅里葉變換,1.從傅立葉級數到傅立葉變換,當周期信號的周期T1無限大時,就演變成了非周期信號的單脈沖信號,頻率也變成連續(xù)變量,頻譜演變的定性觀察,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-T/2,T/2,T/2,-T/2,,,,,,傅立葉變換,傅立葉的逆變換,傅立葉逆變換,物理意義：非周期信號可以分解為無數個頻率為?，

5、復振幅為[F(?)/2p]d? 的復指數信號ejw t的線性組合。,傅立葉變換一般為復數,FT一般為復函數,若f(t)為實數，則幅頻為偶函數,相頻為奇函數,傅立葉變換存在的充分條件,用廣義函數的概念，允許奇異函數也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數也存在傅立葉變換,傅立葉正變換：,傅立葉反變換：,符號表示：,試求圖示非周期矩形脈沖信號的頻譜函數,[解] 非周期矩形脈沖信號f(t)的時域表示式為,由傅立葉正變換定義式，可得,(1

6、)矩形脈沖信號,幅度頻譜：,相位頻譜：,2.常見非周期信號的頻譜,頻譜圖,幅度頻譜,相位頻譜,頻寬：,(2)單邊指數信號,,頻譜圖,幅度頻譜：,相位頻譜：,(3)雙邊指數信號e-|t|,幅度頻譜為,相位頻譜為,(4) 單位階躍信號ε(t),單位階躍信號及其頻譜,(5)單位沖激信號δ(t),單位沖激信號及其頻譜,7．符號函數,處理方法：,做一個雙邊函數,不滿足絕對可積條件,頻譜圖,1. 線性特性2. 對稱特性 3. 尺度變換

7、4. 時移特性,5. 頻移特性6. 卷積定理 7. 微分特性 8. 積分特性,3.3 傅里葉變換的性質,其中a和b均為常數。,則,1.線性特性,,2.互易對稱特性,證明:,令x=at，則dx=adt ，代入上式可得,時域壓縮，則頻域展寬；時域展寬，則頻域壓縮。,3. 尺度變換,式中t0為任意實數,證明：,令x= t-t0，則dx=dt，代入上式可得,信號在時域中的時移，對應頻譜函數在頻域 中產生的附加相移，而幅度頻譜保持不變

8、。,4． 時移特性,試求圖示延時矩形脈沖信號f1(t)的頻譜函數F1(jw)。,[解] 無延時且寬度為?的矩形脈沖信號f(t) 如右圖，,因為,故，由延時特性可得,其對應的頻譜函數為,若f(t) ?? F(jw),式中?0為任意實數,證明： 由傅立葉變換定義有,則,5. 頻移特性,信號f(t)與余弦信號cosw0 t相乘后，其頻譜是將原來信號頻譜向左右搬移w0，幅度減半。,同理,(1)時域卷積定理,證明：,6. 卷積定理,證明：

9、,(2)頻域卷積定理,(1)時域微分,則,若f(t) ?? F(jw),7. 微分性質,試利用微分特性求矩形脈沖信號的頻譜函數。,[解],由時域微分特性,因此有,(2)頻域微分,則,若 f(t) ?? F(jw),將上式兩邊同乘以j得,證明：,試求單位斜坡信號tε(t)的傅立葉變換。,[解] 已知單位階躍信號傅立葉變換為:,利用頻域微分特性可得:,(1)時域積分性質,也可以記作：,8. 積分性質,1. 求單位階躍函數的傅里

10、葉變換,,,解：,解：,周期信號：,非周期信號：,周期信號的傅里葉變換如何求？與傅里葉級數的關系？,3.4 周期信號的傅里葉變換,由傅里葉級數的指數形式出發(fā)：,其傅氏變換(用定義),,,認識,如何由 求,比較式(1),(2),周期單位沖激序列的傅里葉變換,頻譜,周期矩形脈沖序列的傅氏變換,,方法1,利用時域卷積定理，周期T1,利用沖激函數的抽樣性質,方法2,是功率有限信號,,,,定義,,f(t)的功率密度函數(功率譜）,3.5

11、信號的功率譜與能量譜,1. 功率譜,,,,,即,功率有限信號的功率譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換．,由相關定理知,,所以,,又能量有限信號的自相關函數是,,有下列關系,2. 能量譜,,,……帕塞瓦爾方程,定義,,……能量譜密度（能譜）,,所以有,,,所以能譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換對。,3.6 調制和解調,1. 調制,定義,所謂調制,就是用一個信號去控制另一個信號的某一參量的過程.其中控制信號稱為調制信號,被控制信號稱為載波

12、.,,乘法器,,,調制信號,已調信號,調制的分類按載波正弦型信號作為載波脈沖串或一組數字信號作為載波連續(xù)性模擬（連續(xù)）調制數字調制,載波是高頻正弦波,控制載波的幅度稱為調幅(AM),控制載波的頻率或者相位分別稱為調頻(FM)或調相(PM).,2. 解調,將已調信號恢復成原來的調制信號的過程。,頻譜,利用包絡檢波器解調,r(t)：半波整流信號w(t)：圖中得到的包絡x(t)：實際包絡，即A+g(t),3

13、.頻分復用,復用：在一個信道上傳輸多路信號。頻分復用 （FDM）時分復用 （TDM）碼分復用（碼分多址）（CDMA）波分復用（WDM）頻分復用：就是以頻段分割的方法在一個信道內實現多路通信的傳輸體制。(frequency division multiply),調制，將各信號搬移到不同的頻率范圍。,3.7 連續(xù)時間系統(tǒng)(LIT)的頻域分析,1.頻域的系統(tǒng)函數及頻域分析,,,系統(tǒng)函數,僅與系統(tǒng)本身的

14、特性有關,而與外加激勵無關,求解響應的傅氏變換法:,(1)將輸入激勵 變換為頻域的(2)確定系統(tǒng)函數 ,可借助正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法(3)求出響應的傅氏變換(4)求傅氏反變換,得,2.信號的無失真?zhèn)鬏?所謂信號的無失真?zhèn)鬏斒侵篙敵鲂盘柵c輸入信號相比只有幅度大小的變化和出現時間的先后,而波形上沒有任何變化.數學描述為:,● 的低頻段內，傳輸信號無失真 (

15、 ) 。,● 為截止頻率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡稱頻帶。,,,3.理想濾波器,(1)沖激響應,波形,由對稱性可以從矩形脈沖的傅氏變換式得到同 樣的結果.,1．比較輸入輸出，可見嚴重失真；,2．理想低通濾波器是個物理不可實現的非因果系統(tǒng),認識,當 經過理想低通時， 以上的頻率成分都衰減為0，所以失真。,信號頻帶無限寬，,而理想低通的通頻帶(系統(tǒng)頻帶)有限的,系統(tǒng)為全通網絡，可以 無失真?zhèn)鬏敗?原因：從h(t)