數學建模方法詳解--模糊數學

1、數學建模方法詳解數學建模方法詳解模糊數學模糊數學在生產實踐、科學實驗以及日常生活中，人們經常會遇到模糊概念（或現象）。例如大與小、輕與重、快與慢、動與靜、深與淺、美與丑等都包含著一定的模糊概念。隨著科學技術的發(fā)展，各學科領域對于這些模糊概念有關的實際問題往往都需要給出定量的分析，這就需要利用模糊數學這一工具來解決。模糊數學是一個較新的現代應用數學學科，它是繼經典數學、統(tǒng)計數學之后發(fā)展起來的一個新的數學學科。統(tǒng)計數學是將數學的應用范圍從確

2、定性的領域擴大到了不確定性的領域，即從必然現象到偶然現象，而模糊數學則是把數學的應用范圍從確定性的領域擴大到了模糊領域，即從精確現象到模糊現象。在各科學領域中，所涉及的各種量總是可以分為確定性和不確定性兩大類。對于不確定性問題，又可分為隨機不確定性和模糊不確定性兩類。模糊數學就是研究屬于不確定性，而又具有模糊性的量的變化規(guī)律的一種數學方法。本章對于實際中具有模糊性的問題，利用模糊數學的理論知識建立數學模型解決問題。1.1模糊數學的基本概

3、念1.1.1模糊集與隸屬函數1.模糊集與隸屬函數一般來說，我們對通常集合的概念并不陌生，如果將所討論的對象限制在一定的范圍內，并記所討論的對象的全體構成的集合為，則稱之為論域（或U稱為全域、全集、空間、話題）。如果是論域，則的所有子集組成的集合UU稱之為的冪集，記作。在此，總是假設問題的論域是非空的。為了與模U)(UF糊集相區(qū)別，在這里稱通常的集合為普通集。對于論域的每一個元素和某一個子集，有或，二UUx?UA?Ax?Ax?者有且僅有一

4、個成立。于是，對于子集定義映射A10:?UA?即??????01)(AxAxxA，?則稱之為集合的特征函數，集合可以由特征函數唯一確定。AA所謂論域上的模糊集是指：對于任意總以某個程度UAUx?屬于，而不能用或描述。若將普通集的特征函數)]10[(?AA??AAx?Ax?的概念推廣到模糊集上，即得到模糊集的隸屬函數。定義1.1設是一個論域，如果給定了一個映射U]10[)(]10[:??xxUAA???則就確定了一個模糊集，其映射稱為模糊

5、集的隸屬函數，稱為對模AA?AA?x糊集的隸屬度。A定義1.1表明，論域上的模糊集由隸屬函數來表征，的取值范UAA?A?圍為閉區(qū)間，的大小反映了對模糊集的從屬程度，值接近于]10[A?xAA?1，表示從屬的程度很高，值接近于0，表示從屬的程度很低，使xAA?xA1.1.2隸屬函數的確定方法正確地確定隸屬函數是運用模糊集合理論解決實際問題的基礎。隸屬函數是對模糊概念的定量描述。應用模糊數學方法建立數學模型的關鍵是建立符合實際的隸屬函數。然

6、而，如何確定一個模糊集的隸屬函數至今還是尚未完全解決的問題。隸屬函數的確定過程，本質上應該是客觀的，但每個人對于同一個模糊概念的認識理解又有差異，因此，隸屬函數的確定又帶有主觀性。一般是根據經驗或統(tǒng)計進行確定，也可由專家、權威給出。下面僅介紹幾種常用的確定隸屬函數的方法。不同的方法結果會不同，但隸屬函數建立是否適合標準，要用實際使用的效果來檢驗。1.模糊統(tǒng)計方法模糊統(tǒng)計方法可以算是一種客觀方法，主要是在模糊統(tǒng)計試驗的基礎上，根據隸屬度的

7、客觀存在性來確定，所謂的模糊統(tǒng)計試驗必須包含下面的四個要素：1）論域。U2）中的一個固定元素。U0x3）中的一個隨機變動的集合（普通集）。U?A4）中的一個以作為彈性邊界的模糊集，對的變動起著制約作U?AA?A用。其中或，致使對的隸屬關系是不確定的。??Ax0??Ax00xA假設做次模糊統(tǒng)計試驗，則可計算出n對的隸屬頻率0xAnAx的次數???0事實上，當不斷增大時，隸屬頻率趨于穩(wěn)定，其頻率的穩(wěn)定值稱為對n0x的隸屬度，即AnAxxnA