“高等量子力學(xué)”補(bǔ)充專題 二次量子化簡介

1、2.2 薛定諤繪景與海森堡繪景,一、量子動(dòng)力學(xué)的兩種描述方法薛定諤繪景：i）態(tài)矢隨時(shí)間變化（通過作用于態(tài)矢的時(shí)間演化算符描述），ii）觀測量算符與時(shí)間無關(guān)。海森堡繪景: i)態(tài)矢與時(shí)間無關(guān), ii)觀測量算符隨時(shí)間變化海森堡繪景和薛定諤繪景是等價(jià)的。二、么正算符量子力學(xué)中么正算符有多種功用：1）一種表象的基矢與另一表象的基矢可由么正算符聯(lián)系，態(tài)矢本身不變，但其展開系數(shù)則因表象而變；2）作用于態(tài)矢的空間平移和時(shí)間演化算符。

2、在這種么正算符作用下，態(tài)矢改變，但態(tài)矢的內(nèi)積不變 ：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、么正變換對(duì)態(tài)或算符作用的等價(jià)性,由于可有兩種等價(jià)方法：1）態(tài)矢變（ ），算符不變；2）態(tài)矢不變，算符變例如對(duì)于無窮小平移算符 ，方法一： 的期待值 ?方法二： ，兩者都得到

3、相同的結(jié)果經(jīng)典物理并無態(tài)矢的概念，但有平移、時(shí)間演化等。平移和時(shí)間演化等作用于物理量如坐標(biāo)，角動(dòng)量等可觀測量而使其改變。因此，方法2）似乎與經(jīng)典力學(xué)的聯(lián)系更密切。,,,,,,,,,,,,四、薛定諤繪景與海森堡繪景中的態(tài)矢和觀測量,在薛定諤繪景中態(tài)矢隨時(shí)間變化， 這里 ，算符不變 。在海森堡繪景，

4、 但 在 時(shí)， ，在這兩種繪景中，算符的期待值是相同的，,,,,,,,,,,五、海森堡運(yùn)動(dòng)方程,對(duì) 不是時(shí)間顯函數(shù)的情形（適于大部分物理問題），

5、 （對(duì) ）得Heisenberg運(yùn)動(dòng)方程： 它是根據(jù) 的定義和u的性質(zhì)推導(dǎo)出來的。,,,,,,,,,,,,,,,,,五、海森堡運(yùn)動(dòng)方程（續(xù)),經(jīng)典物理中，對(duì)不是時(shí)間顯函數(shù)的 ，有 由此，根據(jù)Dirac的量子化規(guī)則便得海森堡運(yùn)

6、動(dòng)方程。但在海森堡運(yùn)動(dòng)方程中 可以無經(jīng)典對(duì)應(yīng)，例如自旋算符也滿足 （但 不能寫成q 和p的函數(shù)） 即經(jīng)典力學(xué)可由對(duì)應(yīng)關(guān)系 推出，反之卻不然,,,,,,,,,,,,,,,,六、量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)觀察量的對(duì)應(yīng),時(shí)間演化算符的薛定諤方程和海森

7、堡運(yùn)動(dòng)方程的使用都需要有合適的哈密頓算符H。對(duì)有經(jīng)典對(duì)應(yīng)的物理體系，我們假定H與經(jīng)典物理有相同的形式而將經(jīng)典的 和 用量子力學(xué)的相應(yīng)算符來代替。當(dāng)對(duì)應(yīng)規(guī)則牽涉不對(duì)易觀測量時(shí)，則要求H是厄米的。 例如，經(jīng)典力學(xué)的乘積xp之量子力學(xué)對(duì)應(yīng)為 。物理體系無經(jīng)典對(duì)應(yīng)時(shí)，需要猜想H算符的形式。猜想形式的正確性以所用H給出與實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果相同來檢驗(yàn)。在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常需要計(jì)算 或 與 及

8、 的函數(shù)的對(duì)易關(guān)系。對(duì)此可使用公式：這里F及G分別是可以用 和 級(jí)數(shù)展開的函數(shù)，這兩式可通過級(jí)數(shù)展開及重復(fù)使用 而得。,,,,,,,,,,,,,七、自由粒子的運(yùn)動(dòng),由經(jīng)典哈密頓的形式： 并將觀測量 和 理解成Heisenberg繪景的算符，1） 即對(duì)自由粒子，動(dòng)量算符是運(yùn)動(dòng)常量，即 。一般

9、而言，若 與H對(duì)易，則 是運(yùn)動(dòng)常量。2） 與勻速直線運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典軌跡方程相似。由于 不同時(shí)刻的坐標(biāo)算符不對(duì)易 根據(jù)測不準(zhǔn)關(guān)系，表明粒子的位置會(huì)隨時(shí)間而變得越來越不確定(對(duì)應(yīng)于波動(dòng)力學(xué)的波包擴(kuò)展),,,,,,,,,,,,八、 Ehrenfest定理,考慮粒子在勢(shì)場 中運(yùn)動(dòng)。

10、 是x，y，z算符的函數(shù)由于 與 對(duì)易， 與自由粒子情形相同。 即 ，與牛頓第二定律相仿（海森堡繪景）取期望值， （適用于薛定諤和海森堡繪景）由于Ehrenfest定理里無 (要求空間和時(shí)間平移算符中相關(guān)常數(shù)相等),波

11、包中心的運(yùn)動(dòng)與經(jīng)典粒子受勢(shì)場 作用的形式相同經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)軌跡反映的是量子體系波包中心的位置變化！,,,,,,,,,,,,,,九、基矢,在薛定諤繪景中，基矢滿足 。因A與時(shí)間無關(guān)，故 ，基矢不隨時(shí)間變化，這與態(tài)矢隨時(shí)間變化是極不相同的。在海森堡繪景中，由 時(shí) 可推得基矢的本征方程為

12、即基矢隨時(shí)間變化為 。 可見海森堡繪景的基矢與薛定諤繪景的態(tài)矢旋轉(zhuǎn)方向相反，前者滿足錯(cuò)號(hào)的薛定諤方程： 。注：基矢對(duì)應(yīng)的本征值則由上可知不隨時(shí)間變化，與么正等價(jià)觀測量具有相同本征譜這點(diǎn)相一致。,,,,,,,,,,,,,十、算符和態(tài)矢的展開,算符的展開： 與基矢隨時(shí)間按

13、 變化的情況一致態(tài)矢的展開：兩繪景中態(tài)矢的展開系數(shù)是相同的 （薛定諤繪景） 基矢 態(tài)矢 （海森堡繪景） 基矢 態(tài)矢 基矢與態(tài)矢點(diǎn)積對(duì) i)基矢不變、態(tài)矢反時(shí)針旋轉(zhuǎn)

14、，或ii)基矢順時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同角度、態(tài)矢不變是相同的。注：原則上可以在海森堡繪景中堅(jiān)持用不隨時(shí)間變化的基矢，這時(shí)展開系數(shù)也將不隨時(shí)間變化。只是這樣的話，基矢便不再是 時(shí)的算符本征態(tài)了，理論上更復(fù)雜。,,,,,,,,,,,,,,十一、躍遷振幅,初態(tài)為A的本征值為a’的本征態(tài) ，在時(shí)間t被發(fā)現(xiàn)在B的本征值為b’的本征態(tài)的振幅，即躍遷振幅可計(jì)算為：薛定諤繪景,態(tài)矢為 與時(shí)間無關(guān)，振幅

15、 海森堡繪景，態(tài)矢 不變，基矢反方向演化， ，振幅仍為 。兩圖像完全等價(jià) 兩繪景的差別可總結(jié)為,,,,,,,經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的比較,,,,,,,,,時(shí)間演化與薛定諤方程的導(dǎo)出：薛定諤方程的導(dǎo)出只需利用時(shí)間平移的基本性質(zhì)（但利用了經(jīng)典力學(xué)的哈密頓量是時(shí)間平移的生成元的概念）利用力學(xué)量算符與經(jīng)典物理量的對(duì)應(yīng)或經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)量是空間

16、平移生成元及空間平移的基本性質(zhì)，可導(dǎo)出Ehrenfest定理量子力學(xué)包含了經(jīng)典力學(xué)，即經(jīng)典力學(xué)只反映了一（小）部分量子力學(xué)描述的規(guī)律（力學(xué)量算符與經(jīng)典物理量的對(duì)應(yīng)是可以由量子力學(xué)導(dǎo)出經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)。）海森堡運(yùn)動(dòng)方程?量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)觀測量的對(duì)應(yīng)規(guī)則時(shí)間演化算符的形式解?能量本征矢、定態(tài),回顧,2.3 簡諧振子,簡諧振子是量子力學(xué)中最重要的問題之一，可用于解釋量子力學(xué)的基本概念與方法，也在近代物理的許多分支包括分子光譜，固體物

17、理，核結(jié)構(gòu)，量子場論，量子光學(xué)，量子統(tǒng)計(jì)等等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。歷史上正是Planck提出輻射振子的分立能量單位而導(dǎo)致了量子概念的產(chǎn)生。對(duì)諧振子量子性質(zhì)的深刻了解是近代物理學(xué)者所必需的。諧振子勢(shì)的基本重要性：可作為大量勢(shì)場的近似,一、能量本征態(tài)和能量本征值,諧振子的哈密頓量是ω是經(jīng)典振子的角頻率，與彈性常數(shù)k的關(guān)系是定義兩非厄米算符 根據(jù)x與p的對(duì)易關(guān)系，得 定義 故有

18、 ，H與N對(duì)易而有共同本征態(tài)。設(shè)N的本征態(tài) 滿足 ，則 即能量能征值為,,,,,,,,,,,,,二、產(chǎn)生、湮滅和粒子數(shù)算符,由 得 即 和 也是N的本征態(tài),分別對(duì)應(yīng)于本征值n+1和n-1由于把n加1或減1對(duì)應(yīng)于產(chǎn)生或減少一個(gè)能量量子 ，故稱 和 分別為產(chǎn)生和湮滅算符。,,,,,,,

19、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、產(chǎn)生、湮滅和粒子數(shù)算符(續(xù)),由于 可寫出因 ，要避免出現(xiàn) 要求n為整數(shù)，此時(shí) 將在m>n時(shí)截?cái)酁榱闶噶慷怀霈F(xiàn) 態(tài)。由于n為非負(fù)整數(shù)，N被稱為粒子數(shù)算符。最低能量狀態(tài)即基矢能量為 ，激發(fā)態(tài)即正n態(tài)的能量為

20、 .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、激發(fā)態(tài)、粒子數(shù)表象,激發(fā)態(tài) 可由 及 的性質(zhì)而寫出： …… 此外有：粒子數(shù)表象由可得 在n表象中，x和p均非對(duì)角（x、p與N不對(duì)易）。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

21、,,,四、本征波函數(shù),用算符的方法可得出坐標(biāo)空間的能量本征函數(shù)。 這里 表征振子長度?？梢越獾眉ぐl(fā)態(tài)可求出為 上式與厄米多項(xiàng)式 是等價(jià)的。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,五、本征態(tài)的一些性質(zhì),由波函數(shù)的對(duì)稱性得：基態(tài)時(shí)：

22、 , 。 ?滿足最小測不準(zhǔn)關(guān)系(基態(tài)波函數(shù)具有高斯形式)。由得有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,六、振子的時(shí)間演化（解法一/海森堡繪景）,x，p的海森堡運(yùn)動(dòng)方程可表示為這對(duì)耦合方程等價(jià)于 和 的獨(dú)立微分方程：即,,,,,,,,,

23、,,,,,,,,六、振子的時(shí)間演化 （續(xù)）,或得解為與經(jīng)典x、p的運(yùn)動(dòng)形式相同。x、p算符像其經(jīng)典對(duì)應(yīng)量一樣振蕩,,,,,,,,,,,,,,,,,六、振子的時(shí)間演化（直接解法）,由算符的時(shí)間演化直接求出x(t)，p(t)：利用Baker-Hausdorff引理可得類似地，可得出與前面的結(jié)果相同的 。,,,,,,,,,,,六、振子的時(shí)間演化（續(xù)）,注意：算符隨時(shí)間變化不意味著其期待值隨時(shí)間變。