高等數(shù)學數(shù)列極限課件

1、,—— 一元微積分學,大 學 數(shù) 學（1）,第三講 數(shù)列的極限,授課教師：易學軍,,,歡迎觀看,第 二 章 極 限,本章學習要求： 了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運用“ε－δ”和 “ε－X ” 語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用

2、等價無窮小量計算相應的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。 理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極 限求相應的函數(shù)極限。,第 二 章 極 限,第一節(jié) 數(shù)列的極限,一、數(shù)列及其簡單性質,二、數(shù)列的極限,三、數(shù)列極限的性質,四、數(shù)列的收斂準則,稱為一個數(shù)列, 記為{ xn }.,1. 定義,數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的一項,xn = f (n) 稱為數(shù)列的通項或一般項,一、數(shù)列及其簡單性

3、質,數(shù)列也稱為序列,2. 數(shù)列的表示法,,,介紹幾個數(shù)列,,,所有的奇數(shù)項,所有的偶數(shù)項,,所有奇數(shù)項,3. 數(shù)列的性質,,單調性,,有界性,(1) 數(shù)列的單調性,單調增加,不減少的,單調減少,不增加的,,統(tǒng)稱為單調數(shù)列,,,,數(shù)列,(2) 數(shù)列的有界性,回想一下前面講過的函數(shù)的有界性的情形,,我學過嗎 ？,,,,,,,,,,數(shù)列的有界性的定義,如何定義數(shù)列無界？,有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標系中的圖形會是什么樣子？,想想：

4、,從數(shù)軸上看, 有界數(shù)數(shù)列 { xn } 的全部點,都落在某區(qū)間 (－M*, M* ) 中.,,觀察例1 中的幾個數(shù)列：,,,,,有些數(shù)列雖然無界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的.,一個數(shù)列有界(有上界, 有下界), 則必有 無窮多個界(上界, 下界).,,,現(xiàn)在來討論如何定義數(shù)列的無界：,首先看有界性定義的關鍵所在,,,,,,,對所有的,證,分析,,二、數(shù)列的極限,0,0,1,極限描述的是變量的變化

5、趨勢.,,,,,,,,x1,x3,x2n-1,x2n,x4,x2,??,x,0,??,??,?,?,?,(,(,(,),),),*,???,???,????,????,???,???,???,???,,,“ n 無限增大” 記為 n ? ?.,此時稱數(shù)列,當 n ? ? 時以零為,極限, 記為：,這就是該數(shù)列的變化趨勢,量化表示：n ? ? 時, xn ? a .,,預先任意給定一個正數(shù) ? > 0, 不論它的值多么小,,當

6、 n 無限增大時, 數(shù)列 { xn } 總會從某一項開始,,以后的所有項,都落在 U(0, ? ) 中.,（在 U(0, ? ) 外面只有有限項）,,,,,一般地, 如果數(shù)列{xn} 當 n ? ? 時,,列{xn} 當 n ? ? 時以 a 為極限, 記為,xn 可以無限地趨近某個常數(shù) a, 則稱數(shù),此時, 也稱數(shù)列是收斂的.,0,0,1,若{ xn }當 n ? ? 時沒有極限, 則稱{ xn }發(fā)散.,若,此時, 也稱數(shù)

7、列{ xn } 是收斂的.,極限描述的是變量的變化趨勢,數(shù)列的項不一定取到它的極限值.,數(shù)列極限的定義：,,1.唯一性定理,若數(shù)列{ xn }收斂, 則其極限值必唯一.,想想, 如何證明它？,三、數(shù)列極限的性質,設數(shù)列{ xn }收斂, 但其極限不唯一, 不妨設有：,證,運用反證法,任意性,常數(shù),由 ? 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .,唯一性定理的推論,,充分必要條件,子數(shù)列的概念,在數(shù)列 {xn}: x1 , x2 ,

8、 ? , xn , ? 中, 保持各項原來的先后次序不變, 自左往右任意選取無窮多項所構成的新的數(shù)列, 稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列, 記為,唯一性定理的推論往往用來證明或判斷數(shù)列極限不存在．,2.有界性定理,若數(shù)列{ xn }收斂, 則{ xn }必有界.,證,即有,則,由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列{ xn }收斂, 則必有界.,該定理的逆命題不真, 即有界數(shù)列不一定收斂. 例如, { (－1) n }.,,有界性定理的推

9、論：,即 無界數(shù)列的極限不存在 .,無界數(shù)列必發(fā)散.,發(fā)散的數(shù)列不一定都無界 . 例如, { (－1) n } .,,,收斂的數(shù)列必有界. 有界的數(shù)列不一定收斂. 無界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無界.,,,3.保號性定理,證,由絕對值不等式的知識, 立即得,a < 0 的情形類似可證, 由學生自己完成 .,保號性定理的推論1：,,這里為嚴格不等號時,,此處仍是