現(xiàn)代數(shù)字信號處理習題

1、1.設是離散時間平穩(wěn)隨機過程，證明其功率譜是離散時間平穩(wěn)隨機過程，證明其功率譜。??un??w0S?證明：將通過沖激響應為的LTI離散時間系統(tǒng)，設其頻率響應為??un??hn??wH輸出隨機過程的功率譜為??001www0wwwHw????????????yn??????2ySwHwSw?輸出隨機過程的平均功率為??yn??????002011r022wwyywwSwdwSwdw???????????當頻率寬度時，上式可表示為w0???

2、???????01r00ySww????由于頻率是任意的，所以有0w??w0S?3、已知：狀態(tài)方程觀測方程)()1()1()1()(1nnnnxnnFnx???????)()()()(2nnxnCnz???)()]()([111nQnnEH???)()]()([222nQnnEH???濾波初值濾波初值)]0([)|0(0xEx???)]]0([)0()]][0([)0([)0(HxExxExEP???請簡述在此已知條件下卡爾曼濾波算法的

3、遞推步驟。請簡述在此已知條件下卡爾曼濾波算法的遞推步驟。解：步驟1狀態(tài)一步預測，即111)|1(?)1()|(NnnCnxnnFnx?????????步驟2由觀測信號z(n)計算新息過程，即111)|(?)()()|(?)()(MnnCnxnCnznznzn??????????步驟3一步預測誤差自相關矩陣NNHHCnnnQnnnnFnPnnFnnP1)1()1()1()1()1()1()1(????????????步驟4新息過程自相關矩

4、陣MMHCnQnCnnPnCnA2)()()1()()(????步驟5卡爾曼增益MNHCnAnCnnPnK1)()()1()(????或)()()()(12nQnCnPnKH??步驟6狀態(tài)估計11)()()|(?)|(?NnnCnnKnxnx???????步驟7狀態(tài)估計自相關矩陣NNCnnPnCnKInP)1()]()([)(????或)()()()]()()[1()]()([)(2nKnQnKnCnKInnPnCnKInPHH????

5、?步驟8重復步驟17，進行遞推濾波計算4、經(jīng)典譜估計方法：經(jīng)典譜估計方法：答：(1)連續(xù)時間信號相應的維納－辛欣定理主要內容：連續(xù)時間信號的功率譜密度與其自相關函數(shù)滿足如下關系：))(()()(??????xjxxRFdeRS?????????????deSRjxx?????)(21)((2)離散時間信號相應的維納－辛欣定理主要內容：離散時間信號的功率譜密度與其自相關函數(shù)滿足如下關系：mjmxjxemReS?????????)()(??

6、????deeSmRmjjxx???)(21)(8、舉例說明卡爾曼濾波的應用場景。、舉例說明卡爾曼濾波的應用場景。答：假設要研究的對象是一個房間的溫度。根據(jù)經(jīng)驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設用一分鐘來做時間單位）。假設經(jīng)驗不是100%的可信，可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（WhiteGaussianNoise），也就是這些偏差跟前后時間是沒有關系的而且符合高斯分配（G

7、aussianDistribution）。另外，我們在房間里放一個溫度計，但是這個溫度計也不準確的，測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲?，F(xiàn)在對于某一分鐘我們有兩個有關于該房間的溫度值：根據(jù)經(jīng)驗的預測值（系統(tǒng)的預測值）和溫度計的值（測量值）。下面我們用這兩個值結合他們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。首先要根據(jù)k1時刻的溫度值，來預測k時刻的溫度。因為假定溫度是恒定的，所以k時刻的

8、溫度預測值是跟k1時刻一樣的，假設是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k1時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，預測的不確定度是4度，二者平方相加再開方，就是5）。然后，從溫度計那里得到了k時刻的溫度值，假設是25度，同時該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟相信誰多一點，我們可以用他們的covariance來判斷。因為Kg^2=5^2(5^24^2)，所以Kg=

9、0.78，我們可以估算出k時刻的實際溫度值是：230.78(2523)=24.56度?？梢钥闯?，因為溫度計的covariance比較?。ū容^相信溫度計），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時刻的最優(yōu)溫度值，下一步就是要進入k1時刻，進行新的最優(yōu)估算。在進入k1時刻之前，我們還要算出k時刻那個最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：((1Kg)5^2)^0.5=2.35。這里的5就是上面的k時刻預測的那個23度溫度值

10、的偏差，得出的2.35就是進入k1時刻以后k時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對應于上面的3）。9、離散時間信號、離散時間信號()sn是一個一階的是一個一階的AR過程，其相關函數(shù)過程，其相關函數(shù)||()01ksRkaa???，兩觀測，兩觀測數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)為()()()xnsnvn??，其中，其中()sn和()vn不相關，且不相關，且()vn是一個均值是是一個均值是0，方差為，方差為2v?的白噪聲，設計維納濾波器的白噪聲，設計維納濾波器()Hz。