抽象函數的對稱性、奇偶性與周期性總結及習題

1、試卷第1頁，總12頁抽象函數的對稱性、奇偶性與周期性總結及習題抽象函數的對稱性、奇偶性與周期性總結及習題一.概念概念:抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖像只給出一些函數符號及其滿足的條件的函數如函數的定義域解析遞推式特定點的函數值特定的運算性質等它是高中函數部分的難點也是大學高等數學函數部分的一個銜接點由于抽象函數沒有具體的解析表達式作為載體因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數的題目需要有嚴謹的邏輯思維能力、豐富的想象力以及函

2、數知識靈活運用的能力1、周期函數的定義：、周期函數的定義：對于()fx定義域內的每一個x，都存在非零常數T，使得()()fxTfx??恒成立，則稱函數()fx具有周期性，T叫做()fx的一個周期，則kT（0kZk??）也是()fx的周期，所有周期中的最小正數叫()fx的最小正周期。分段函數的周期：分段函數的周期：設)(xfy?是周期函數，在任意一個周期內的圖像為C:)(xfy???abTbax???。把)()(abKKTxxfy???軸

3、平移沿個單位即按向量)()0(xfykTa??平移，即得在其他周期的圖像：??bkTakTxkTxfy?????)(。?????????????bkTakTx)(bax)()(kTxfxfxf2、奇偶函數：、奇偶函數：設??????baabxbaxxfy)(??????或①若為奇函數；則稱)()()(xfyxfxf????②若為偶函數則稱)()()(xfyxfxf???。分段函數的奇偶性分段函數的奇偶性3、函數的對稱性：、函數的對稱性：

4、（1）中心對稱即點對稱：）中心對稱即點對稱：①點對稱；關于點與)()22()(baybxaByxA??②對稱；關于與點)()()(baybxaBybxaA????③成中心對稱；關于點與函數)()2(2)(baxafybxfy????④成中心對稱；關于點與函數)()()(baxafybxafyb??????⑤成中心對稱。關于點與（函數)(0)22(0)baybxaFyxF????（2）軸對稱：對稱軸方程為：）軸對稱：對稱軸方程為：0???

5、CByAx。①))(2)(2()()(2222BACByAxByBACByAxAxByxByxA?????????與點關于直線成軸對稱；0???CByAx②函數))(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy??????????與關于直線試卷第3頁，總12頁推論2:函數)(xfy?與)2(xafy??圖象關于直線ax?對稱推論3:函數)(xfy??與)2(xafy??圖象關于直線ax??對稱（三）（三）抽象函數的

6、對稱性與周期性抽象函數的對稱性與周期性1、抽象函數的對稱性、抽象函數的對稱性性質性質1若函數y＝f(x)關于直線x＝a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性質性質2若函數y＝f(x)關于點（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(

7、x)為偶（或奇）函數分別為性質1（或2）當a＝0時的特例。2、復合函數的奇偶性、復合函數的奇偶性定義定義1、若對于定義域內的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復數函數y＝f[g(x)]為偶函數。定義定義2、若對于定義域內的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復合函數y＝f[g(x)]為奇函數。說明：說明：（1）復數函數）復數函數f[g(x)]f[g(x)]為偶函數，則為偶函數，則f[g(f[g(－x)

8、]x)]＝f[g(x)]f[g(x)]而不是而不是f[f[－g(x)]g(x)]＝f[g(x)]f[g(x)]，復合函數，復合函數y＝f[g(x)]f[g(x)]為奇函數，則為奇函數，則f[g(f[g(－x)]x)]＝－＝－f[g(x)]f[g(x)]而不是不是f[f[－g(x)]g(x)]＝－＝－f[g(x)]f[g(x)]。（2）兩個特例：）兩個特例：y＝f(xf(x＋a)a)為偶函數，則為偶函數，則f(xf(x＋a)a)＝f(f(

9、－x＋a)a)；y＝f(xf(x＋a)a)為奇函數，則為奇函數，則f(f(－x＋a)a)＝－＝－f(af(a＋x)x)（3）y＝f(xf(x＋a)a)為偶（或奇）函數，等價于單層函數為偶（或奇）函數，等價于單層函數y＝f(x)f(x)關于直線關于直線x＝a軸對稱（或關于點（軸對稱（或關于點（a，0）中心對稱））中心對稱）3、復合函數的對稱性、復合函數的對稱性性質性質3復合函數y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關于直線x＝（b－a）2軸對

10、稱性質性質4、復合函數y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關于點（（b－a）2，0）中心對稱推論推論1、復合函數y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關于y軸軸對稱推論推論2、復合函數y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關于原點中心對稱4、函數的周期性、函數的周期性若a是非零常數，若對于函數y＝f(x)定義域內的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數y＝f(x)是周期函數，且2|a|是它的一個周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)