《高中數(shù)學競賽》數(shù)列

1、1競賽輔導競賽輔導數(shù)列數(shù)列(等差數(shù)列與等比數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列)數(shù)列是高中數(shù)學中的一個重要課題，也是數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的問題。數(shù)列最基本的是等差數(shù)列與等比數(shù)列。所謂數(shù)列，就是按一定次序排列的一列數(shù)。如果數(shù)列an的第n項an與項數(shù)(下標)n之間的函數(shù)關系可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。從函數(shù)角度看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N(或它的有限子集1，2，…n)的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應

2、的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的解析式。為了解數(shù)列競賽題，首先要深刻理解并熟練掌握兩類基本數(shù)列的定義、性質有關公式，把握它們之間的(同構)關系。一、等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。等差數(shù)列an的通項公式為：)1()1(1dnaan???前n項和公式為：)2(2)1(2)(11dnnnaaanSnn?????從(1)

3、式可以看出，是的一次數(shù)函()或常數(shù)函數(shù)()，(nan0?d0?d)排在一條直線上，由(2)式知，是的二次函數(shù)()或一次函nannSn0?d數(shù)()，且常數(shù)項為0。在等差數(shù)列中，等差中項：001??adna且任意兩項的關系為：221????nnnaaanmaadmnaamn)(???它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。3??121121212321123121)()(::321??????????????????????????nnnnnnn

4、nnmqpknknnnaaaaaaaaaaNqpnmnkaaaaaaaa???則有記則有若???另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構造冪，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等naCnaC比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構”的。重要的不僅是兩類基本數(shù)列的定義、性質，公式；而且蘊含于求和過程當中的數(shù)學思想方法和數(shù)學智慧，也是極其珍貴的，諸如“倒排相加”(等差

5、數(shù)列)，“錯位相減”(等比數(shù)列)。數(shù)列中主要有兩大類問題，一是求數(shù)列的通項公式，二是求數(shù)列的前n項和。三、范例例1設ap，aq，am，an是等比數(shù)列an中的第p、q、m、n項，若pq=mn，求證：nmqpaaaa???證明：設等比數(shù)列的首項為，公比為q，則na1anmqpnmnmqpqpnnmmqqppaaaaqaaaqaaaqaaqaaqaaqaa?????????????????????????::22122111111111故所以