定積分及應用習題課

1、1第五章定積分本章知識結(jié)構(gòu)導圖定積分定積分的概念與意義定積分的性質(zhì)定積分的計算定積分的應用平面區(qū)域的面積經(jīng)濟中的應用牛頓萊布尼茲公式換元積分法分部積分法數(shù)學家的故事:萊布尼茲簡介萊布尼茲(G.W.Leibniz16461716)是德國最重要的數(shù)學家、物理學家、歷史學家和哲學家一個舉世罕見的科學天才和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人.生于萊比錫卒于漢諾威.萊布尼茲的父親在萊比錫大學教授倫理學在他六歲時就過世留下大量的人文書籍早慧的他自習拉丁文與希臘

2、文廣泛閱讀.1661年進入萊比錫大學學習法律又曾到耶拿大學學習幾何1666年在紐倫堡阿爾多夫大學通過論文《論組合的藝術(shù)》獲法學博士并成為教授該論文及后來的一系列工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人1667年他投身外交界游歷歐洲各國接觸了許多數(shù)學界的名流并保持聯(lián)系在巴黎受惠更斯的影響決心鉆研數(shù)學他的主要目標是尋求可獲得知識和創(chuàng)造發(fā)明的一般方法這導致了他一生中的許多發(fā)明其中最突出的是微積分與牛頓不同他主要是從代數(shù)的角度把微積分作為一種運算的過程與方

3、法而牛頓則主要從幾何和物理的角度來思考和推理把微積分作為研究力學的工具萊布尼茨于1684年發(fā)表了第一篇微分學的論文《一種求極大極小和切線的新方法》是世界上最早的關(guān)于微積分的文獻雖僅6頁推理也不清晰卻含有現(xiàn)代的微分學的記號與法則1686年他又發(fā)表了他的第一篇積分論文由3本章小結(jié)本章主要掌握定積分的概念、意義、性質(zhì)以及會用牛頓—萊布尼茲公式計算定積分.一、定積分的概念、意義與性質(zhì)1.概念:定積分源自于求曲邊梯形的面積它的計算形式為:結(jié)果是一

4、01()lim()nbkkakfxdxfx????????個數(shù)值其值的大小取決于兩個因素（被積函數(shù)與積分限）2.幾何意義:是曲線之間與軸所圍的面積的代數(shù)和??()yfxab?介于x3.經(jīng)濟意義:若是某經(jīng)濟量關(guān)于的變化率（邊際問題）則是在區(qū)間中的()fxx()bafxdx?x??ab該經(jīng)濟總量4.性質(zhì):本章共列了定積分的八條性質(zhì)其中以下幾條在計算定積分中經(jīng)常用到.（1）()()baabfxdxfxdx????（2）??()()()()bb

5、baaafxgxdxfxdxgxdx??????（3）()()bbaakfxdxkfxdx???（4）()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx?????（5）.00()2()aaafxfxdxfxdxfx?????????為奇函數(shù)時（）（）為偶函數(shù)時二、定積分的計算1牛頓—萊布尼茲公式:若在上連續(xù)是的一個原函數(shù)則()fx??ab()Fx()fx.()()()bafxdxFbFa???2換元法:若在連續(xù)在上有連續(xù)的導數(shù)且單調(diào)則有(