一道高考數(shù)學試題的高數(shù)背景

1、1一道高考數(shù)學試題的高數(shù)背景一道高考數(shù)學試題的高數(shù)背景廖運章廖運章朱亞麗朱亞麗(廣州大學數(shù)學與信息科學學院510006)2009年湖南高考數(shù)學理科第21題是這樣的：對于數(shù)列，若存在常數(shù)M＞0對任意的，恒有??nu??Nn，則稱數(shù)列為B數(shù)列.1121...nnnnuuuuuuM???????????nu（I）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B數(shù)列？請說明理由(1)qq?（II）設是數(shù)列的前項和，給出下列兩組論斷：nS??nxnA組：①數(shù)列

2、是B數(shù)列，②數(shù)列不是B數(shù)列；??nx??nxB組：③數(shù)列是B數(shù)列；④數(shù)列不是B數(shù)列.??nS??nS請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結論；（III）若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列.????nnabB???nnabB?[注]令（I）的、（III）中的，其他不變，即為2009年湖南高考數(shù)學21??qnnab?文科第21題，以下只討論理科題，并簡稱為本試題.不難發(fā)現(xiàn)，這道

3、文理壓軸題以開放題的形式，用數(shù)列、不等式知識作載體，考查歸納猜想、邏輯推理等重要數(shù)學思想方法，具有深刻的高等數(shù)學背景，來源于數(shù)學分析中的有界變差數(shù)列，與實變函數(shù)中的有界變差函數(shù)一脈相承.1命題淵源命題淵源11命題背景命題背景事實上，本試題直接來源于吉米多維奇的《數(shù)學分析習題集》的第86題，原題及解答如下：[NO.86][NO.86]若存在數(shù)C使得，則稱敘21321(23)nnxxxxxxCn???????????列有有界變差.證明凡有有

4、界變差的敘列是收斂的.舉出一個收斂敘列而無(123)nxn??有界變差的例子.3師范大學數(shù)學系的《數(shù)學分析》[3]，其P40的第6題為：若數(shù)列滿足：存在正數(shù)M，對一切n有??na.證明：數(shù)列與都收斂.21321nnnAaaaaaaM????????????na??nA12命題技術命題技術從高考數(shù)學命題技術看，一是通過語言轉換，將高中生不熟悉的高等數(shù)學術語“有界變差數(shù)列”用其英文簡寫“數(shù)列”（boundedvariationsequenc

5、e）這一新定義替代，B?高數(shù)語言初等化，保持原題條件不變，改變其結論（原題第2問的否定即是本試題的（I）），以考查有界變差數(shù)列性質的目的，避開考生不能為之的收斂數(shù)列證明，試題的信息形態(tài)有一定新意；二是在解題思想方法上，本試題的解法與原題一樣，都要求正確把握新定義“數(shù)列”的內(nèi)涵并靈活運用絕對值不等式的插值法（添減項），更是高等數(shù)學中的常用估B?值技巧，涉及壓縮映射原理的2006年廣東高考數(shù)學理20題(Ⅲ)的證明就曾用到該估值技巧.近年來，

6、依托高等數(shù)學背景，通過高等數(shù)學語言初等化等形式，將高等數(shù)學問題的提法轉化為中學生可接受的語言來編擬高考數(shù)學試題是一種常見的命題方法，而中學數(shù)學和大學數(shù)學的銜接點則往往成為命題的焦點.如單調有界定理是數(shù)學分析中判定數(shù)列收斂的一個奠基性定理，與中學的數(shù)列、不等式等知識聯(lián)系緊密，以此背景編擬本試題就不出意料.2解法探究解法探究21（I）的解法）的解法本試題（I）比較簡單，只要現(xiàn)場認真閱讀有關條件并仿照新定義進行驗證即可.設滿足題設的等比數(shù)列為

7、則；于是??na1nnaq??，212112nnnnnaaqqqqn??????????因此｜｜｜｜…｜｜=1na?nana1na?2a1a211(1...).nqqqq???????1q?即，故首項為1，?21111...11nnqqqqqq??????????11211...1nnnnqaaaaaaq??????????公比為的等比數(shù)列是B數(shù)列.q(1)q?22（II）的解法）的解法（II）是一個開放性問題，給考生思考的空間大，A、