第5講聯(lián)想“模型函數”破解抽象函數題

1、聯(lián)想“模型函數”破解抽象函數題抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式只給出一些函數符號及其滿足的條件的函數.由于此類試題既能考查函數的概念和性質又能考查學生的思維能力所以備受命題者的青睞.因為抽象，學生解題時思維常常受阻，思路難以展開.然而抽象來源于具體，抽象函數一般是由具體的函數抽象而得到的.如抽象函數f(x)滿足f(xy)=f(x)f(y)，可聯(lián)想到f(x)=kx(k≠0)，有f(x1)=kx1，f(x2)=kx2，f(x1x2)=k

2、(x1x2)=kx1kx2=f(x1)f(x2)，則y=kx就可以作為抽象函數f(x)滿足f(xy)=f(x)f(y)的一個“模型函數”.分析抽象函數問題的解題過程及心理變化規(guī)律可知，由抽象函數的結構，聯(lián)想到已學過的具有相同或相似結構的某個“模型函數”，并由“模型函數”的相關結論，預測、猜想抽象函數可能具有的某種性質而使問題獲解，是我們解決抽象函數問題的一般方法.有鑒于此，本文試圖歸納一些中學階段學過的常見“模型函數”，通過聯(lián)想“模型函

3、數”來破解抽象函數題.一、中學階段學過的常見“模型函數”抽象函數模型函數f(xy)=f(x)f(y)y=kx（k為常數）f(xy)=f(x)f(y)ay=kxa（ka為常數）f(xy)=f(x)f(y)y=ax（a＞0且a≠1）f(xy)=f(x)f(y)y=(a＞0且a≠1)xalogf(xy)=f(x)f(y)y=xn（n為常數）注：記憶方法：如和的函數等于函數的積對應的模型函數為指數函數，而積的函數等于函數的和對應的模型函數為對數

4、函數等.二、聯(lián)想“模型函數”破解抽象函數題例析【例1】已知函數f(x)對于任意實數x、y都有f(xy)=f(x)f(y)，且當x＞0時，f(x)＞0，f(1)=2，求函數f(x)在區(qū)間[2，1]上的值域.聯(lián)想：聯(lián)想：由f(xy)=f(x)f(y)聯(lián)想“模型函數”y=kx（k為常數）為奇函數，k＜0時為減函數，k＞0時為增函數，從而猜測：f(x)為奇函數且f(x)為R上的單調增函數，且f(x)在[－21]上有f(x)∈[－42].解析：解

5、析：設x1＜x2且x1，x2∈R，則x2x1＞0，∴f(x2－x1)＞0，∴f(x2)f(x1)=f(x2x1x1)f(x1)=f(x2x1)f(x1)f(x1)=f(x2x1)＞0，∴f(x2)＞f(x1)∴f(x)為R上的單調增函數.令x=y=0則f(0)=0令y=x，則f(x)=f(x)，∴f(x)為R上的奇函數.∴f(1)=f(1)=2，∴f(1)=2，f(2)=2f(1)=4，∴4≤f(x)≤2(x∈[21])，故f(x)在[

6、21]上的值域為[4，2]注意：注意：由f(xy)=f(x)f(y)斷定f(x)=kx（k為常數）是錯誤的，犯了用特殊代替一般的錯誤（解客觀題還是可以）.我們只能借助f(x)=kx（k為常數）來猜測f(x)的性質，為解題指明方向，至于f(x)的性質的得出，我們還是要由相關定義來嚴格證明，決不能含含糊糊.【例2】函數對任意、R，都有，并且當時，)(xfa?b1)()()(????bfafbaf0?x.（1）求證：是R上的增函數；1)(?x

7、f)(xf（2）若，解不等式.5)4(?f3)23(2???mmf得，即，∴，)()()(1212xxfxfxf???1)()(012??xfxf)()(12xfxf?∴在R上單調遞減.)(xf（3）解）解：由，)1()()(22fyfxf???)1()(22fyxf??又由（2）知為R上的遞減，∴點集表示圓的內部.)(xf122??yx?A122??yx由得點集表示直線.1)2(???yaxf02???yax?B02???yax∵，∴

8、直線與圓相離或相切.??BA?02???yax122??yx于是.1122??a?33???a【例5】已知函數f(x)定義域為(0∞)且單調遞增，滿足f(4)=1，f(xy)=f(x)f(y)（1）證明f(1)=0；（2）求f(16)；（3）若f(x)f(x3)≤1，求x的范圍；（4）試證f(xn)=nf(x)（n∈N）.聯(lián)想：聯(lián)想：由f(xy)=f(x)f(y)聯(lián)想“模型函數”y=（a＞0，a≠0）從而猜測：xalogf(x)有f(1

9、)=0，f(16)=2，……解析：解析：（1）令x=1，y=4，則f(4)=f(14)=f(1)f(4)，∴f(1)=0；（2）f(16)=f(44)=f(4)f(4)=2，（3）f(x)f(x3)=f[x(x3)]≤1=f(4)，f(x)在（0，∞）上單調遞增∴x(x3)≤4∴1≤x≤4x3＞0x＞3，即3＜x≤4，∴x∈（3，4]x＞0（4）∵f(xy)=f(x)f(y)，∴f(xn)=f(xx……x)=nf(x)（n∈N）n個x【

10、例6】已知函數f(x)對于一切正實數x、y都有f(xy)=f(x)f(y)且x＞1時，f(x)＜1，f(2)=.（1）求證：f(x)＞0；（2）求證：f(x1)=[f(x)]1；91（3）求證：f(x)在（0，∞）上為單調減函數；（4）若f(m)=9，試求m的值.聯(lián)想：聯(lián)想：由f(xy)=f(x)f(y)聯(lián)想“模型函數”y=xa，從而猜測：f(x)＞0，在（0，∞）上為單調減函數，……解析：解析：（1）對任意x＞0，f(x)=f()=[

11、f()]2≥0，xxx假設存在y＞0，使f(y)=0，則對任意x＞0，有f(x)=f(y)=f()f(y)=0，yxyx這與已知矛盾，故對任意x＞0，均有f(x)＞0；（2）∵f(x)=f(x1)=f(x)f(1)，f(x)＞0∴f(1)=1，∴f(x)f()=f(x)=f(1)=1，∴f(x1)=[f(x)]1；x1x1（3）設x1、x2∈(0∞)，且x1＜x2，則＞1，∴f()＜1，12xx12xx∴f(x2)=f(x1)=f()f