數列求和的基本方法和技巧

1、12013427:數列通項、求和數列通項、求和一、求數列的通項公式方法的歸納一、求數列的通項公式方法的歸納：求數列通項公式常用觀察法、公式法、等差或等比通項公式法、遞增關系變形法（累加、累乘）等。1、公式法：，注意兩種情況能合并，則合并，不能合并，則分?)1()2(11?????nsnssnnna21??nn段表示。2、常見遞推數列通項公式的求法：（1）、型（用累加法）)(1nfaann???即：，)1(1????nfaann…，，將上

2、述個式子相加，)2(21?????nfaann)1(12faa??1?n可得：)1()3()2()1(1???????nffffaanL（2）、型（用累乘法）1)1(???nnanfa即，，……..將上述個式子相乘，21)2(???nnanfa32)3(???nnanfa12)1(afa?1?n可得：。1)1()3()2()1(anffffan?????L（3）型（qpaann???1)??qp方法一：待定系數法，通過待定系數法求出的值

3、，構造成以為首項，)(11mapmaqpaannnn????????m??ma?1以為公比的等比數列。p方法二：迭代法=qpaann???1qpqqpapqpqapqqapnnn?????????????)()(32222=????????qpqqpapn233=3211qqpqpqpapnnn????????????而是一個等比數列，求出其和，即可求出通項。qpqpqpqn????????22?（4）型)(1nfpaann???方法一

4、：待定系數法通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以??)1()(1???????nfmapnfmannm)1(1mfa?為公比的等比數列。p3題可用待定系數法得，可將問題轉化為等比數列求解待定系數法有時比疊代法來地簡112123??????便例4設數列的首項，，，求數列通項公式na112a?231???nnaa?432?nna解：解：令，又∵，，∴，∴??112nnakak?????11313222nnnaaa????????432

5、?n1k??，又，∴是首項為，公比為的等比數列，即)1(2111?????nnaa112a?1?na12?21?，即11)21)(1(1?????nnaa1()12nna???四、四、，為常數為常數)2(11?????nqapaannnqp方法：可用下面的定理求解：令為相應的二次方程的兩根(此方程又稱為特征方程)，??02???qpxx則當時，；當時，，其中分別由初始條件所???nnnaAB???????1)(???nnBnAa?BA2

6、1aa得的方程組和唯一確定1222ABaABa???????????12(2)ABaABa????????例5數列，滿足：，且，，求，nanb112(1)66(2)nnnnnnaabbab??????????21?a41?bnanb解：解：由得，，代入到式中，有)2(nnnbba???16112161?????nnnbba)1(，由特征方程可得，代入到式中，可得nnnbbb6512????2812233nnnb?????)2(14823

7、3nnna????說明：說明：像這樣由兩個數列，構成的混合數列組求通項問題，一般是先消去nanbna(或)，得到(或)，然后再由特征方程方法求解nb112?????nnnqbpbb112?????nnnqapaa五、五、型，這里型，這里為常數，且為常數，且)(1nfpaann???p1?p例6在數列中，，其中na21?a)(2)2(11????????Nnaannnn???，求數列通項公式0??na解：解：由，，可得，21?a)(2)2

8、(11????????Nnaannnn???0??1)2()2(111???????nnnnnnaa????所以為等差數列，其公差為，首項為)2(nnna???10故，所以數列的通項公式為1)2(???nannn??nannnna2)1(????評析：評析：對的形式，可兩邊同時除以，得，)(1nfpaann???1?np111)(?????nnnnnpnfpapa令有，從而可以轉化為累加法求解nnnbpa?11)(????nnnpnfb