數(shù)學家與函數(shù)

1、數(shù)學是門高深的學科，它所涉及到的領域也很廣，學好數(shù)學可以提高人們的邏輯推理思維能力和形成敏銳的洞察力，在這個世界上，有很多為數(shù)學做出貢獻的科學家，他們這都是值得我們學習的人。在笛卡爾引入變量以后，變量和函數(shù)等概念日益滲透到科學技術的各個領域?？v覽宇宙，運算天體，探索熱的傳導，揭示電磁秘密，這些都和函數(shù)概念息息相關。正是在這些實踐過程中，人們對函數(shù)的概念不斷深化?；仡櫼幌潞瘮?shù)概念的發(fā)展史，對于剛接觸到函數(shù)的初中同學來說，雖然不可能有較深的

2、理解，但無疑對加深理解課堂知識、激發(fā)學習興趣將是有益的。最早提出函數(shù)（function）概念的，是17世紀德國數(shù)學家萊布尼茨。最初萊布尼茨用“函數(shù)”一詞表示冪，如都叫函數(shù)。以后，他又用函數(shù)表示在直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標。1718年，萊布尼茨的學生、瑞士數(shù)學家貝努利把函數(shù)定義為：“由某個變量及任意的一個常數(shù)結合而成的數(shù)量。”意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數(shù)。貝努利所強調(diào)的是函數(shù)要用公式來表示。后來數(shù)學家覺得不應該

3、把函數(shù)概念局限在只能用公式來表達上。只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至于這兩個變量的關系是否要用公式來表示，就不作為判別函數(shù)的標準。1755年，瑞士數(shù)學家歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。”在歐拉的定義中，就不強調(diào)函數(shù)要用公式表示了。由于函數(shù)不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在坐標系的曲線也叫函數(shù)。他認為：“函

4、數(shù)是隨意畫出的一條曲線。”當時有些數(shù)學家對于不用公式來表示函數(shù)感到很不習慣，有的數(shù)學家甚至抱懷疑態(tài)度。他們把能用公式表示的函數(shù)叫“真函數(shù)”，把不能用公式表示的函數(shù)叫“假函數(shù)”。1821年，法國數(shù)學家柯西給出了類似現(xiàn)在中學課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！痹诳挛鞯亩x中，首先出現(xiàn)了自變量一詞。1834年，俄國數(shù)學家羅巴契夫斯

5、基進一步提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每一個x都有確定的值，并且隨著x一起變化。函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數(shù)的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的?！边@個定義指出了對應關系（條件）的必要性，利用這個關系，可以來求出每一個x的對應值。1837年，德國數(shù)學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個

6、完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)。”這個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只須有一個法則存在，使得這個函數(shù)取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖像或表格或其他形式。這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便。因此，這個定義曾被比較長期的使用著。自從德國數(shù)學家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對應關系來定義函數(shù)概念就是現(xiàn)在高中課本里用的了。中文數(shù)學書上使用的“函數(shù)”

7、一詞是轉譯詞。是我國清代數(shù)學家李善蘭在翻譯《代數(shù)學》（1895年）一書時，把“function”譯成“函數(shù)”的。中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù)?！敝袊糯锰?、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數(shù)或變量。這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數(shù)?！彼浴昂瘮?shù)”是指公式里含有變量的意思。我們可以預計到，關于函數(shù)的爭論、研究、發(fā)展、拓廣將不會完結，也

8、正是這些影響著數(shù)學及其相鄰學科的發(fā)展。另外，函數(shù)的發(fā)展主要可以分為以下的幾個階段：１.早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)十七世紀伽俐略(GGalileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關系這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉

9、一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的。２.十八世紀函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰貝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎上，對函數(shù)概念進行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數(shù)”，表示為，其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包

10、括代數(shù)式子和超越式子。18世紀中葉歐拉(LEuler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。他把約翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定

11、義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。３.十九世紀函數(shù)概念——對應關系下的函數(shù)1822年傅里葉(Fourier，法，1768－1830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時指出，雖然無窮級數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對函數(shù)來說不

12、一定要有解析表達式，不過他仍然認為函數(shù)關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學家狄利克雷。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)?！钡依死椎暮瘮?shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關于依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)

13、學家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。等到康托爾(Cant，德，1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。４.現(xiàn)代函

14、數(shù)概念——集合論下的函數(shù)1914年豪斯道夫(FHausdff)在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數(shù)。其優(yōu)點是避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶(a，b)為集合a，b，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個

15、函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。函數(shù)概念的定義經(jīng)過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結，20世紀40年代，物理學研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac－δ函數(shù)，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1，這在原來的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數(shù)概念的引入，把函數(shù)、測度及以上所述的Dirac－δ函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來。因此，隨著以數(shù)學為基礎的其他學