工程力學之扭轉

1、,,第三章 扭 轉,材料力學,§3–1 概述 §3–2 傳動軸的外力偶矩 · 扭矩及扭矩圖§3–3 薄壁圓筒的扭轉§3–4 等直圓桿在扭轉時的應力 · 強度分析§3–5 等直圓桿在扭轉時的變形 · 剛度條件§3–6 等直圓桿的扭轉超靜定問題§3–7 等直圓桿在扭轉時的應變能&#

2、167;3–8 非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形§3–9 開口和閉合薄壁截面在自由扭轉時的應力,第三章 扭 轉,,,,,,,,,,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,§3–1 概 述,軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、 石油鉆機中的鉆桿等。,扭轉：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭

3、轉變形。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,扭轉角（?）：任意兩截面繞軸線轉動而發(fā)生的角位移。剪應變（?）：直角的改變量。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,工 程 實 例,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,§3–2 傳動軸的外力偶矩 · 扭矩及扭矩圖,一、傳動軸的外力偶矩 傳遞軸的傳遞功率、轉速與外力偶矩的關系：,其中：P — 功率，千瓦（kW） n —

4、 轉速，轉/分（rpm）,其中：P — 功率，馬力（PS） n — 轉速，轉/分（rpm）,1PS=735.5N·m/s , 1kW=1.36PS,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,3 扭矩的符號規(guī)定： “T”的轉向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負。,二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩,

5、,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,4 扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。,目 的,,,,,,,,,,,,,,,x,T,?,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,[例1]已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。,解：①計算外力偶矩,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,②求扭矩（扭矩按正方向設）,

6、,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,③繪制扭矩圖,BC段為危險截面。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,,§3–3 純剪切,一、實驗：,1.實驗前：,①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶 m。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,2.實驗后：,①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。,3.結論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。

7、 ②各縱向線均傾斜了同一微小角度 ? 。 ③所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,①無正應力 ②橫截面上各點處，只產生垂直于半徑的均勻分布的剪應力? ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。,4. φ 與 ? 的關系：,微小矩形單元體如圖所示：,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,二、薄壁圓筒剪應力? 大?。?,A0：平

8、均半徑所作圓的面積。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,三、剪應力互等定理：,,上式稱為剪應力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,四、剪切虎克定律：,,單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,,

9、,,T=m,φ,,,,剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（τ ≤τp)，剪應力與剪應變成正比關系。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因? 無量綱，故G的量綱與? 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。,剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系（推導詳見后面章節(jié)）：,可見，在三個彈

10、性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,§3–4 圓軸扭轉時的應力,等直圓桿橫截面應力,①變形幾何方面②物理關系方面③靜力學方面,1. 橫截面變形后 仍為平面； 2. 軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行。,一、等直圓桿扭轉實驗觀察：,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：,

11、1. 變形幾何關系：,,距圓心為 ? 任一點處的??與到圓心的距離?成正比。,—— 扭轉角沿長度方向變化率。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,T,2. 物理關系：,虎克定律：代入上式得：,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,3. 靜力學關系：,,,,,,,令,代入物理關系式 得：,,,,,,,材料力學講義（扭

12、轉 ）,—橫截面上距圓心為?處任一點剪應力計算公式。,4. 公式討論：① 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。,② 式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 ? —該點到圓心的距離。 Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,單位：mm4，m4。,③ 盡管由實心圓截面

13、桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是Ip值不同。,,,,,,,D,,,?,d?,O,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,,,O,,,?,d?,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,④ 應力分布,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,T,t,max,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t,max,t,max,,T,,（實心截面）,（空心截面）,,工程上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，

14、 結構輕便，應用廣泛。,,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,⑤ 確定最大剪應力：,Wt — 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,三、圓軸扭轉時的強度計算,強度條件：,對于等截面圓軸：,([?] 稱為許用剪應力。),強度計算三方面：,① 校核強度：,② 設計截面尺

15、寸：,③ 計算許可載荷：,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,,,[例2] 功率為150kW，轉速為15.4轉/秒的電動機轉子軸如圖， 許用剪應力 [?]=30M Pa, 試校核其強度。,,T,m,解：①求扭矩及扭矩圖,②計算并校核剪應力強度,③此軸滿足強度要求。,x,,,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,?,§3–5 圓軸扭轉時的變形,一、扭轉時的變形,由公式,知：長為 l一段桿兩截面間相對扭轉

16、角φ 為,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,二、單位扭轉角φ ：,或,三、剛度條件,或,GIp反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。,[?]稱為許用單位扭轉角。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,剛度計算的三方面：,① 校核剛度：,② 設計截面尺寸：,③ 計算許可載荷：,有時，還可依據(jù)此條件進行選材。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,,[例3]長為 L=2m 的圓桿受均力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖

17、，若桿的內外徑之比為? =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應力 [?]=30MPa，試設計桿的外徑；若[φ]=2º/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。,,,解：①設計桿的外徑,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,,,,40Nm,,x,,,T,代入數(shù)值得：,D ? 0.0226m。,② 由扭轉剛度條件校核剛度,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,?,,40Nm,x,,,T,③右端面轉角為：,,,,,,材料力學講義（扭

18、 轉 ）,?,[例4] 某傳動軸設計要求轉速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ，[? ]=70M Pa，[φ ]=1º/m ，試確定： ①AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ ②若全軸選同一直徑，應為多少？ ③主動輪與從動輪如何安排合理？,解：①圖示狀態(tài)下,扭矩如 圖，由強度條件得

19、：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,T,x,7.024,4.21,(kNm),,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,由剛度條件得：,,,,,T,x,7.024,4.21,(kNm),,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,,,,,,,,,,,,,,,,,綜上：,②全軸選同一直徑時,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,,,,,,,,,,,,,,,③ 軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應 該換位。換位后,軸的扭

20、矩如圖所示,此時,軸的最大直徑才 為 75mm。,,,,,T,x,4.21,(kNm),2.814,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,?,§3–6 等直圓桿的扭轉超靜定問題,解決扭轉超靜定問題的方法步驟：,平衡方程；,幾何方程——變形協(xié)調方程；,補充方程：由幾何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和補充方程組成的方程組。,①,②,③,④,⑤,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,,[例5]長為 L=2m 的

21、圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內外徑之比為? =0.8 ，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固端反力偶。,解：①桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。 平衡方程為：,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,②幾何方程——變形協(xié)調方程,③ 綜合物理方程與幾何方程，得補充方程：,④ 由平衡方程和補充方程得：,另:此題可由對稱性直接求得結果。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,&#

22、167;3–7 等直圓桿在扭轉時的應變能,一、 應變能與能密度,單元體微功：,應變比能：,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,二、圓柱形密圈螺旋彈簧的計算,1. 應力的計算,,,,=,,+,t,Q,t,T,,Q,T,,近似值：,P,Q,T,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,2. 彈簧絲的強度條件:,精確值：（修正公式，考慮彈簧曲率及剪力的影響）,其中：,稱為彈簧指數(shù)。,稱為曲度系數(shù)。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,3

23、.位移的計算(能量法）,外力功：,變形能：,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,[例6] 圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：D=125mm，簧絲直 徑為：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，試求最大剪應力的近似值和精確值；若 G =82GPa，欲使彈簧變形等于 6mm， 問：彈簧至少應有幾圈？,解：①最大剪應力的近似值：,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,②最大剪應力的精確值：,③彈簧圈數(shù)：,（圈）,,,,,,,材料力學

24、講義（扭 轉 ）,§3–8 非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形,非圓截面等直桿：平面假設不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉時推出的應力、變形公式不適用，須由彈性力學方法求解。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,一、自由扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。,二、約束扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面

25、 的翹曲程度不同。,三、矩形桿橫截面上的剪應力:,,,1. 剪應力分布如圖：（角點、形心、長短邊中點）,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,2. 最大剪應力及單位扭轉角,其中：,其中：It—相當極慣性矩。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,注意！ 對于W t 和 It ，多數(shù)教材與手冊上有如下定義：,查表求? 和? 時一定要注意，表中? 和? 與那套公式對應。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,[例8]

26、 一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：h = 100 mm， b=50mm，長度L=2m，桿的兩端受扭轉力偶 T=4000N·m 的 作用 ，鋼的G =80GPa ，[?]=100M Pa，[?]=1º/m ，試校核 此桿的強度和剛度。,解：①查表求 ? 、?,②校核強度,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,③校核剛度,綜上,此桿滿足強度和剛度要求。,,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,一

27、、剪應力流的方向與扭矩的方向一致。,二、開口薄壁截面桿在自由扭轉時的剪應力分布如圖（a），厚 度中點處，應力為零。,§3–9 開口和閉合薄壁截面在自由扭轉時的應力,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,三、閉口薄壁截面桿在自由扭轉時的剪應力分布如圖（b），同 一厚度處，應力均勻分布。,,,,,,材料力學講義（扭 轉 ）,四、閉口薄壁截面桿自由扭轉時的剪應力計算，在（c）圖上取 單元體如圖（d）。,,