大地測量學基礎第三章

1、1,第三章 地球重力場及形狀的基本理論,2,地球重力場狀基本理論,3.1.1 地球的概說（略）3.1.2 地球運動概說 地球是太陽系中的一顆行星，它有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)運動。 1、地球的自轉(zhuǎn) 地球的自轉(zhuǎn)即地球繞地軸由西向東旋轉(zhuǎn)。 地球的繞地軸旋轉(zhuǎn)360度的時間：太陽日、恒星日。 地球的自轉(zhuǎn)速度：,3,地球重力場狀基本理論,2、地球的公轉(zhuǎn) 地球的公

2、轉(zhuǎn)滿足開普勒三大行星運動定律 (1) 行星運動軌跡是橢圓，太陽位于其 橢圓的一個焦點上 直角坐標方程： 極坐標方程： f 真近點角，p 為焦參數(shù)（半通徑）,4,地球重力場狀基本理論,行星運動在單位時間內(nèi)掃過的面積相等； 在時間 t 內(nèi)掃過的面積 s 相等，則面速度 可根據(jù)能量守恒定律導出。 (3)

3、 行星運動的周期的平方與軌道的長半軸的立方的比為常數(shù)。 設a 和a1 , T 和 T1分別表示兩行星軌道的長半徑與軌道運行周期。,5,地球重力場狀基本理論,則第三定律表達為：一般可以用來計算行星或衛(wèi)星的質(zhì)量。牛頓萬有引力定律： 開普勒定律是牛頓萬有引力定律的基礎。 天體力學,6,地球重力場狀基本理論,宇宙空間任意兩質(zhì)點，彼此相互吸引，其引力大小與他們的質(zhì)量成積成正比，與他們之間的距離平方成反比。,在相對運

4、動中，行星相對于太陽運動的相對加速度：,,7,地球重力場狀基本理論,考慮到M>>m 注意： f 、 G、 k2 在不同的教材都表示引力常數(shù)。,8,,,,,地球重力場的基本原理,3.2.1 引力與離心力,其它作用力（太陽、月亮）大多數(shù)情況下可忽略。,9,地球重力場的基本原理,3.2.2 引力位和離心力位 由理論力學可知，如果某一空間（有限或無限）的任意一點都有一定力的作用，而力的大小與

5、方向只與該點的位置有關(guān)，則這一空間稱為力場。就力場而言，具有共同的特性，即力場所做的功與路徑無關(guān)，只與起點與終點有關(guān)。這樣的力稱為保守力。引力與離心力都是保守力。 引力位：單位質(zhì)點受物質(zhì)M的引力作用產(chǎn)生的位能稱為引力位，或者說將單位質(zhì)點從無窮遠處移動到該點引力所做的功。即：,,,,,10,地球重力場的基本原理,,萬有引力定律：,推導如下:,假設沿力線方向做功為,，則有,此功等于位能的減少，,積分則有：,因為r→∞, V=0。所以

6、 C=0 ，則有,取 m=1，,11,地球重力場的基本原理,地球總體的位函數(shù)：,1、由牛頓第二定律可知：,2、對位函數(shù)求導：,, 則有,12,地球重力場的基本原理,結(jié)論： 單位質(zhì)點的物體在引力場中的加速度等于引力位的導數(shù)，方向與徑向方向相反。推論： 位對被吸引點各坐標軸的偏導數(shù)等于相應坐標軸上的加速度(或引力)向量的負值。,13,地球重力場的基本原理,離心力位 在離心力場中，,14,,,,地球重力場的基本原

7、理,3.2.3 重力位,重力是引力和離心力的合力，重力位W是引力位V和離心力位Q之和：,對三坐標軸求偏導數(shù)求得重力的分力或重力加速度分量：,15,各分力的模：方向余弦： 重力位在任意方向的偏導數(shù)等于重力在該方向上的分力：,,,地球重力場的基本原理,16,,,,地球重力場的基本原理,當g與l相垂直時，那么dＷ=0，Ｗ＝常數(shù),當給出不同的常數(shù)值，就得到一簇曲面，稱為重力等位面，也就是我們通常說的水準面?？梢娝疁拭嬗袩o窮多個

8、。其中，我們把完全靜止的海水面所形成的重力等位面，專稱它為大地水準面。,如果令g與l夾角等于π，則有：,水準面之間既不平行，也不相交和相切。,17,對于某一單位質(zhì)點而言，作用其上的重力在數(shù)值上等于使它產(chǎn)生的重力加速度的數(shù)值，所以重力即采用重力加速度的量綱，單位是： 伽(Gal=cms－２)， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(μGal= mGal/1000=10

9、－８m s－２) 1、地面點重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，兩極重力值 983Gal。由于地球的極曲率及周日運動的原因，重力有從赤道向兩極增大的趨勢。 2、地球上重力的大小與方向只與被吸引點的位置有關(guān)，理論上應該是常數(shù)，但重力是隨時間變化而變化，即相同的點在不同的時刻所觀測到的重力不相同。,地球重力場的基本原理,18,3.2.4 地球的正常重力位和正常重力 要精確計算出地球重力位，必須知道

10、地球表面的形狀及內(nèi)部物質(zhì)密度，但前者正是我們要研究的，后者分布極其不規(guī)則，目前也無法知道，故根據(jù)上式不能精確地求得地球的重力位，為此引進一個與其近似的地球重力位——正常重力位。,,地球重力場的基本原理,19,地球重力場的基本原理,,正常重力位是一個函數(shù)簡單、不涉及地球形狀和密度便可直接計算得到的地球重力位的近似值的輔助重力位。當知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力位的差異(稱擾動位)，便可求出大地水準面與這已知形狀(正常位水準面)

11、的差異。最后解決確定地球重力位和地球形狀的問題。,1 地球引力位的數(shù)學表達式 地球慣性矩表達引力位 (方法1),設地球上的點坐標為:,地球表面點坐標為:,與,與,20,建立空間直角坐標系與球面極坐標系,,,,,,,地球重力場的基本原理,21,地球重力場的基本原理,由于,,,,,,,22,地球重力場的基本原理,理論力學可知：物體的重心為定義坐標系： ，則有：,

12、23,用球諧函數(shù)表達地球引力位（方法2） 勒讓德多項式,,,,,,地球重力場的基本原理,24,地球重力場的基本原理,,25,地球重力場的基本原理,勒讓德多項式中： 稱為n階主球函數(shù)(或帶球函數(shù))， 稱為n階K級的勒讓德締合函數(shù)(或伴隨函數(shù))。 稱為締合球函數(shù)(其中，當k=n時

13、稱為扇球函數(shù)，當k≠n時稱為田球函數(shù)),,,,,26,地球重力場的基本原理,用球諧函數(shù)表示的地球引力位的公式 2 地球正常重力位,,,,27,地球重力場的基本原理,當選取前3項時，將重力位W寫成U,,,28,地球重力場的基本原理,現(xiàn)在需要求系數(shù)：若地球是旋轉(zhuǎn)橢球體，則有轉(zhuǎn)動慣量 ，將系數(shù)代入則有：式中：,29,地球重力場的基本原理,設赤道的離心力與重力之比為：令：則有：

14、,30,地球重力場的基本原理,注意：如果正常重力位已知，則對應的正常水準面已知，不同的正常重力位對應不同的正常位水準面，我們尋找的是與大地水準面相近的正常位水準面的形狀，上式中，對r和 取不同的常數(shù)值，就得到一簇正常位水準面，取 ，求得與大地水準面相近的正常位水準面方程： ?。?，則有,31,地球重力場的基本原理,另外，旋轉(zhuǎn)橢球面的方程：

15、 則有： 4.4.3正常重力公式 因為：,,,,32,地球重力場的基本原理,特例： ，赤道正常重力： ，極點處正常重力： 令： 則有： 上述正常重力公式稱為克萊羅定理。,33,地球重力場的基本原理,顧及到扁率的二次項的正常重

16、力公式,式中：,34,1901～1909年赫爾默特公式：1930年卡西尼公式： 1975年國際地球正常重力公式：ＷGS84坐標系中的橢球重力公式：,,,,,,地球重力場的基本原理,35,高出水準橢球面H米的正常重力計算公式,,,,,,,,地球重力場的基本原理,36,4 正常重力場參數(shù)在物理大地測量中,正常橢球重力場可用4個基本參數(shù)決定,即： 地球正常(水準)橢球的基本參數(shù)，又稱地球大地基準常數(shù)是：其中：,,,

17、,,,,地球重力場的基本原理,37,3.2.5 正常橢球、水準橢球、總地球橢球與參考橢球 正常橢球面 是大地水準面的規(guī)則形狀（一般指旋轉(zhuǎn)橢球面）。因此引入正常橢球后，地球重力位被分成正常重力位和擾動位兩部分，實際重力也被分成正常重力和重力異常兩部分。正常橢球的確定： 1、除了確定其M和ω值外，其規(guī)則形狀可以任意選擇。但考慮到實際使用的方便，又顧及幾何大地測量中采用旋轉(zhuǎn)橢球的實際情況，目前都采用水準橢球作為正常橢球。 2

18、、對于正常橢球，除了確定其4個基本參數(shù)：a, J２，fM和ω外，也要定位和定向。正常橢球的定位是使其中心和地球質(zhì)心重合，正常橢球的定向是使其短軸與地軸重合，起始子午面與起始天文子午面重合。,地球重力場的基本原理,38,地球重力場的基本原理,總的地球橢球： 一個和整個大地體最為密合的?？偟厍驒E球中心和地球質(zhì)心重合，總的地球橢球的短軸與地球地軸相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，總地球橢球和大地體最為密合。 從幾

19、何和物理兩個方面來研究全球性問題，我們可把總地球橢球定義為最密合于大地體的正常橢球。正常橢球參數(shù)是根據(jù)天文大地測量，重力測量及人衛(wèi)觀測資料一起處理確定的，并由國際組織發(fā)布。參考橢球： 其大小及定位定向最接近于本國或本地區(qū)的地球橢球。這種最接近，表現(xiàn)在兩個面最接近及同點的法線和垂線最接近。,39,3.3.1一般說明 大地高由兩部分組成：地形高部分(含H正或H正常)及大地水準面(或似大地水準面)高部分。

20、地形高基本上確定著地球自然表面的地貌，大地水準面高度又稱大地水準面差距 N，似大地水準面高度又稱高程異常ζ，它們基本上確定著大地水準面或似大地水準面的起伏。因此，大地高可表示為：,3.3 高 程系 統(tǒng),40,設由O—A—B路線水準測量得到B點的高程由O—N—B線路得到B點高程由于水準面不平行，對應的Δｈ和Δｈ′不相等，水準環(huán)線高程閉合差也不等于零，稱為 理論閉合差。,,,,高 程系 統(tǒng),41,3.3.2 正高系統(tǒng)正高系統(tǒng)是以

21、大地水準面為高程基準面，地面上任一點的正高是該點沿垂線方向至大地水準面的距離。 因為無限接近兩水準面其位能差可以寫為,,,,,,高 程系 統(tǒng),42,3.3.3 正常高系統(tǒng) 將正高系統(tǒng)中不能精確測定的 用正常重力代替，便得到另一種系統(tǒng)的高程，稱其為正常高。我國規(guī)定采用正常高高程系統(tǒng)作為我國高程的統(tǒng)一系統(tǒng)。正常高高差的實際計算公式,,,,,高 程系 統(tǒng),43,說明： 1、正常高與正高不同，它不是地面點到大地水準面的距

22、離，而是地面點到一個與大地水準面極為接近的基準面的距離，這個基準面稱為似大地水準面。因此，似大地水準面是由地面沿垂線向下量取正常高所得的點形成的連續(xù)曲面，它不是水準面，只是用以計算的輔助面。因此，我們可以把正常高定義為以似大地水準面為基準面的高程。 2、正常高和正高之差,在高山地區(qū)可達4米，在平原地區(qū)數(shù)厘米，在海水面上相等，大地水準面的高程原點對似大地水準面也是適用的。 ,高 程系 統(tǒng),44,3.3.4 力高和地區(qū)力高高程系統(tǒng)

23、 同一個重力位水準面上兩點的正高或正常高是不相等的。對于大型水庫等工程項目，它的靜止水面是一個重力等位面，在設計、施工、放樣等工作中，通常要求這個水面是一個等高面。這時若繼續(xù)采用正常高或正高顯然是不合適的，為了解決這個矛盾，可以采用所謂力高系統(tǒng)，它按下式定義：,,,高 程系 統(tǒng),45,注意：說明力高是區(qū)域性的，主要用于大型水庫等工程建設中。它不能作為國家統(tǒng)一高程系統(tǒng)。在工程測量中，應根據(jù)測量范圍大小，測量任務的性質(zhì)和目的等因素，

24、合理地選擇正常高，力高或區(qū)域力高作為工程的高程系統(tǒng)。,高 程系 統(tǒng),46,3.3.5 國家高程基準1、高程基準面 高程基準面：就是地面點高程的統(tǒng)一起算面，由于大地水準面所形成的體形——大地體是與整個地球最為接近的體形，因此通常采用大地水準面作為高程基準面。高程基準面的確定：在海洋近岸的一點處豎立水位標尺，成年累月地觀測海水面的水位升降，根據(jù)長期觀測的結(jié)果可以求出該點處海洋水面的平均位置，假定大地水準面就是通過這點處實測的平均海水

25、面。驗潮、驗潮站,高 程系 統(tǒng),47,1956年黃海高程系統(tǒng)：1950年至1956年7年間青島驗潮站的潮汐資料推求的平均海水面作為我國的高程基準面。1985國家高程基準：根據(jù)青島驗潮站 1952～1979年中取19年的驗潮資料計算確定，并從1988年1月1日開始啟用。  ,高 程系 統(tǒng),48,2、水準原點 為了長期、牢固地表示出高程基準面的位置，作為傳遞高程的起算點，必須建立穩(wěn)固的水準起算點，用精密水準測量方

26、法將它與驗潮站的水準標尺進行聯(lián)測，以高程基準面為零推求水準原點的高程。,,高 程系 統(tǒng),49,1956年黃海高程系統(tǒng)中，我國水準原點的高程為72.289m 1985國家高程基準系統(tǒng)中，我國水準原點的高程為72.260m。地面上的點相對于高程基準面的高度，通常稱為絕對高程或海拔高程，也簡稱為標高或高程。海洋的深度也是相對于高程基準面而言的，例如太平洋的平均深度為4000m，就是說在高程基準面以下4000m。,,高 程系 統(tǒng)

27、,50,3.4 測定垂線偏差和大地水準面差距的基本概念 大地坐標同天文坐標的區(qū)別主要是由同一點的法線和垂線不一致，亦即由垂線偏差引起的。 地面一點上的重力向量g和相應橢球面上的法線向量 n之間的夾角定義為該點的垂線偏差。很顯然，根據(jù)所采用的橢球不同可分為絕對垂線偏差及相對垂線偏差，垂線同總地球橢球(或參考橢球)法線構(gòu)成的角度稱為絕對(或相對)垂線偏差，它們統(tǒng)稱為天文大地垂線偏差。,51,圖中，u是垂線偏差，ξ

28、、η分別是u在子午圈和卯酉圈上的分量,,,,,,,,,,垂線偏差,52,垂線偏差,1、天文大地測量方法 在天文大地點上，既進行大地測量取得大地坐標(B,L)，又進行天文測量取得天文坐標(φ，λ）。 2、重力測量方法 建立擾動位與垂線偏差的關(guān)系，即擾動位與觀測量(重力異常)的函數(shù),,,,,,,53,垂線偏差,,,,維寧.曼尼茲公式,此公式是在假定大地水準面之外沒有擾動物質(zhì)及全球重力異常Δｇ都已知的情況下推導的。然而這兩個

29、條件都還不能實現(xiàn)，所以重力方法至今也沒有得到獨立的應用。,54,3、天文重力方法 綜合利用天文大地方法和重力測量方法來確定垂線偏差 4、GPS測量方法 在GPS相對定位中，只要測出基線長D，大地方位角A及高程異常差Δζ，便可求得垂線偏差。但這種方法應用是有條件的，比如，地形平坦，基線不長，精度要求較低等。,,,垂線偏差,55,3.4.2 測定大地水準面差距的基本概念 1、用地球重力場模型法計算大地水準面差距

30、 大地水準面上一點P的實際重力位 Ｗ 與相應于點P的正常重力位 U 之差，稱之為該點的擾動位T，用下式表示 由于在選擇正常重力位時總是使地球離心力位對Ｗ和U的影響相同，因此擾動位具有引力位的性質(zhì)。,,大地水準面差距,56,大地水準面差距,57,,,,,大地水準面差距,58,大地水準面差距,,2、利用斯托克司積分公式計算,,,已知：,則有：,59,大地水準面差距,3、衛(wèi)星無線電測高方法研究大地水準面,60

31、,4、利用GPS高程擬合法研究似大地水準面 如果在測區(qū)中選擇一定的GPS點同時聯(lián)測幾何水準測量，求出這些點的正常高h，于是在這些點上便可求出高程異常:代入下面數(shù)學擬合方程中用最小二乘求解：,,,,大地水準面差距,61,5、利用最小二乘配置法研究大地水準面,大地水準面差距,62,3.5 地球形狀的基本概念1、天文大地測量方法 弧線法面積法 現(xiàn)代推求新的橢球元素是在原有舊的橢球元素基礎上，綜合利用天文、