數(shù)學中的幾種創(chuàng)造性思維

1、,,高等數(shù)學與創(chuàng)新思維,北京航空航天大學 李心燦,引言 全國科技大會上指出：“創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發(fā)達的不竭動力?！粋€沒有創(chuàng)新能力的民族難于屹立于世界民族之林?！?教育部的一個報告指出： “實施素質教育重點是改變教育觀念，……尤其是要以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造精神為主?！?“一個民族要想站在科學的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維?！?,-------恩格斯,創(chuàng)造性人才的創(chuàng)造活動是在相應的創(chuàng)造

2、性思維的支配下，所進行的一種積極的能動的活動。創(chuàng)造性思維是一切創(chuàng)造活動的核心和靈魂。,R·培根指出：“數(shù)學是打開科學大門的鑰匙?！盚·G·格拉斯曼說：“數(shù)學除了鍛煉敏銳的理解力，發(fā)現(xiàn)真理外，它還有另一個訓練全面考查科學系統(tǒng)的頭腦的開發(fā)功能?！焙瞻吞卣f：“數(shù)學一般通過直接激發(fā)創(chuàng)造精神和活躍思維的方式來提供最佳服務。”,K·L·米斯拉指出：“數(shù)學是代表人類抽象思維方面的最高成就和勝利。”

3、,因此我認為：數(shù)學教學不但應該給數(shù)學知識，還應該培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。,我主要結合高等數(shù)學中的內容來講解，同時也適當講解一些數(shù)學史上的問題。,講五個問題一、歸納思維二、類比思維三、發(fā)散思維四、逆（反）向思維五、（數(shù)學）猜想,著名數(shù)學家拉普拉斯指出：“在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類比?！?著名數(shù)學家高斯曾說：“我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的?！?一、歸納思維,歸納是人類賴以發(fā)現(xiàn)真理的基本的、重要的思維方法。,歸納是在通

4、過多種手段（觀察、實驗、分析……）對許多個別事物的經驗認識的基礎上，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結出原理或定理。歸納是從觀察到一類事物的部分對象具有某一屬性，而歸納出該事物都具有這一屬性的推理方法。或者說，歸納思維就是要從眾多的事物和現(xiàn)象中找出共性和本質的東西的抽象化思維。,從數(shù)學的發(fā)展可以看出，許多新的數(shù)學概念、定理、法則、……的形成，都經歷過積累經驗的過程，從大量觀察、計算……,然后歸納出其共性和本質的東西，例如：哥德巴赫猜想，費馬猜想，素數(shù)定理

5、等。,歸納的方法 例如，我們看到： 3+7=10， 3+17=20， 13+17=30 3，7，13，17都是奇素數(shù)*。 10， 20， 30 都是偶數(shù)。 是否兩個奇素數(shù)之和都是偶數(shù)呢？,這是顯然的。但是（逆向思維）,任何一個偶數(shù)，都能分解為兩個奇素數(shù)之和？,6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11=7+

6、7 16=3+13=5+11 …這樣下去總是對的嗎？即任何一個大于4的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和？大于4的偶數(shù)=奇素數(shù)+奇素數(shù)？ （哥德巴赫猜想）,60=3+57 （57=19×3，不是素數(shù)） 60=5+55 （55=11×5，不是素數(shù)) ？！,60=7

7、+53（7和53都是素數(shù)） ……. 一直到現(xiàn)在還沒有一個人推翻它，但也還沒有一個人證明它。,哥德巴赫提出這個問題時，歐拉在1742年6月30日的回信中說：他相信這個猜想，但他不能證明。于是引起了很多人研究它，但在120年間，一直沒有多大進展。 直到20世紀20年代，才開始有了眉目，當時有人證明了(*)：任何一個大于4的偶數(shù)： A=[a1×a2×…

8、5;a9]+[b1×b2×…×b9], (9+9) 其中ai,bi(i=1,2,3…9)都是素數(shù)，才為這個猜想的證明開辟了道路。,(*) 1920年挪威數(shù)學家布朗（V.Brun）用“篩法”證明了.,1924年 拉德馬哈爾 證明了（7+7）；1932年 愛斯爾曼 證明了（6+6）；1938年 布赫斯塔勃 證明了（5+5）, 1940年又證明了（4+

9、4）；1956年    維諾格拉多夫 證明了（3+3）；1956年   王元 證明了（3+4）；1957年 王元 證明了（2+3）；1962年 潘承洞證明了（1+5）； 同年王、潘又證明了（1+4）；1965年  布赫斯塔勃、維諾格拉多夫、龐比利證明了（1+3）；1966年 陳景潤證明了（1+2）；(發(fā)表

10、在《中國科學》 1973. p.111-128）,1. 吳文俊說：哥德巴赫猜想是一場攻堅戰(zhàn)和接力賽。2. 解放后，華羅庚、閔嗣鶴在這一研究上奠定了基礎。3. 王元1956年證得：大偶數(shù)=3+4； 1957年又得出：大偶數(shù)=2+

11、3。4.  潘承洞1962年證得：大偶數(shù)=1+4。5.  陳景潤1966年證得：大偶數(shù)=1+2； 1972年潘、王、丁夏畦簡化了陳的證明。6.蘇步青說： 要想取得1+1就得把世界上八十多種方法融會貫通，博取眾長。,1998年利用超級計算機，驗證這個猜想對于每一個小于4×1014的偶數(shù)都是正確的。但沒有一項計算技術可以對直至無窮的每一個偶數(shù)確認這個猜想成立。關鍵是要找出一個

12、抽象嚴格的證明。這是數(shù)學向人類智慧的挑戰(zhàn)! * * * 這個猜想吸了不少人 2000年3月中旬：英國一家出版社懸賞100萬美元征“哥德巴赫猜想”之解，時限兩年,截止日期定在2002年3月20日。 ( 獎金比中國最高科學獎還高、Nobel獎),素數(shù)與素數(shù)定理,素數(shù):只能被1和其自身整除的大于

13、1的正整數(shù)。 如：2，3，7，11，13，23，……素數(shù)是構造整數(shù)的“素材”。 每一個整數(shù)要么它自己是素數(shù),要么它可以唯一地表示為一些素數(shù)的乘積。例如: 3, 5, 7 是素數(shù); 4=2×2, 6=2×3, 8=2×2×2,畢達哥拉斯(學派)認為: “萬物皆數(shù)”,“數(shù)是萬物的元素”,他們企

14、圖通過揭示數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理。 素數(shù)與密碼學 蟬：生命的素數(shù)現(xiàn)象北美北部17年、北美南部13年、12年 素數(shù)對于不少數(shù)學家總是有一種極神秘的吸引力。有一位數(shù)學家在結婚時與其妻約定:只有在素數(shù)的日子才與其……,②二項式系數(shù) (a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2

15、 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5= ┊ (a+b)n=,帕斯卡 三 角 形,帕斯卡 三 角 形,,,,,,,印刷于1654年，但1665年才在巴黎正式出版,楊 輝 三 角 形 1

16、 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15

17、 6 1,宋朝數(shù)學家楊輝1261年寫的《詳解九章算法》*就解釋了上述系數(shù)三角形的構造法，并說賈憲用此術。,在高等數(shù)學中，許多重要結果的得出，都用到了歸納思維。例如： 求某一函數(shù)的 n 階導數(shù)，通常的方法是求出其一階、二階（有時還要求出其三階、四階）導數(shù)，再歸納出 n 階導數(shù)的表達式。,例1.    設 , 試求,解 因

18、為,從而歸納出,例2.已知函數(shù) 具有任意階導數(shù)，且 ，試求,……從而歸納,解 因為,例3. 若函數(shù) 都在點x處具有n階導數(shù)求,解,又如：從一階、二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的結構及其求解方法，可以歸納出n 階常系數(shù)線性齊次方程通解的結構及其求解方法。 再如：多元函數(shù)求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，從兩個自

19、變量、一個約束條件，推廣到n個自變量、m個約束條件，也是用歸納的方法得出的。 總之：在高等數(shù)學中，有不少內容使用了歸納思維。,科爾莫哥洛夫在《我是如何成為數(shù)學家》中說：我在6、7歲時我已經感受到數(shù)學歸納發(fā)現(xiàn)的樂趣，例如，我注意到下邊的等式：,他的這個發(fā)現(xiàn)，后來被刊登在由幾個小學生自己編輯的《春燕》雜志上。,著名日本物理學家、諾貝爾獎獲得者湯川秀澍指出：“類比是一種創(chuàng)造性思維的形式?！敝軐W家康德指出：“每當理智

20、缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進?！?類比是根據(jù)兩個（或多個）對象內部屬性、關系的某些方面相似，而推出它們在其它方面也可能相似的推理。,二、類比思維,類比為人們思維過程提供了更廣闊的“自由創(chuàng)造”的天地，使它成為科學研究中非常有創(chuàng)造性的思維形式，從而受到了很多著名科學家的重視與青睞。例如：,著名數(shù)學家、教育學家波利亞說：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題?！?著名天文學

21、、數(shù)學家開普勒說： “我珍類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然的奧秘……?！?在平面解析幾何中直線的截距式是：,在平面解析幾何中,兩點的距離是：,在空間解析幾何中,兩點的距離是：,在空間解析幾何中平面的截距式是：,在平面解析幾何中圓的方程是： (x-a)2+(y-b)2=R2 在空間解析幾何中球面的方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。,費馬猜想：X

22、2+Y2=Z2的解：X=3, Y=4, Z=5 Z=m2+n2 , X= m2-n2 Y=2mn, m,n是任一整數(shù)，n2是否有正整數(shù)解？,,Zn = xn+ Yn (n>2)(Wiles 1994),多元函數(shù)與單元函數(shù) 在學習多元函數(shù)的微分學和積分學時，應注意與已經學習過的一元函數(shù)的微積分相應的概念、理論、方法進行類比。例如：,在一元函數(shù)中

23、，若f(x)在點x0的鄰域內有（n+1）階導數(shù)，且x為此鄰域內任意一點，則有一元函數(shù)的n階泰勒公式：,其中,在二元函數(shù)中，若f (x, y)在點(x0,y0)的鄰域內有（n+1）階連續(xù)偏導數(shù)，且(x=x0+h,y=y0+k)為此鄰域內任意一點，則有二元函數(shù)的n階泰勒公式：,大家可以將上述一元函數(shù)的n階泰勒公式與二元函數(shù)的n階泰勒公式進行類比（包括它們成立的條件和公式的結構與形式）。,又如，在講完了積分學后應引導學生將定積分、二重積分、三

24、重積分、曲線積分、曲面積分進行類比，包括它們的定義、性質、計算方法、物理意義、…等。,首先通過類比，看到這幾種積分的定義都是按“分割”、“求近似和”、“取極限”，三個步驟引出的，并可把他們統(tǒng)一記為,特別應該引導學生將牛頓——萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式進行類比。 若將牛頓——萊布尼茨公式,視為，它建立了一元函數(shù)f(x)在一個區(qū)間的定積分與其原函數(shù)F(x)在區(qū)間邊界的值之間的聯(lián)系；,通過類比，就可將格林公式

25、,視為，它建立了二元函數(shù)在一個平面區(qū)域D上的二重積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界L的曲線積分之間的聯(lián)系；,通過類比，就可將高斯公式,視為，它建立了三元函數(shù)在一個空間區(qū)域 上的三重積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界曲面S上的曲面積分之間的聯(lián)系；,通過類比，就可將斯托克斯公式,視為，它建立了三元函數(shù)在一個空間曲面S上的曲面積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界曲線L上的曲線積分之間的聯(lián)系。,實踐證明：在學習過程中，將新內容與自己已經熟悉的知識。進行類比

26、，不但易于接受、理解、掌握新知識，更重要的是：培養(yǎng)、鍛煉了自己的類比思維，有利于開發(fā)自己的創(chuàng)造力。（費馬猜想）,從而，可將格林公式、高斯公式、斯托克斯公式都看作牛頓——萊布尼茨公式的高維推廣。,所謂具有發(fā)散特性的思維是指信息處理的途徑靈活多變，求結果的豐富多樣。它是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問題，沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產生新的信息并獲得解決問題的多種方案。因此，也把發(fā)散思維稱為求異思維。它是一種重要

27、的創(chuàng)造性思維。 用“一題多解”，“一題多變”等方式，發(fā)散式地思考問題。,三、發(fā)散思維,數(shù)學王子—高斯,高斯被譽為：“能從九霄云外的高度按某種觀點掌握星空和深奧數(shù)學的天才”和“數(shù)學王子”。,特別是高斯非常重視培養(yǎng)自己的發(fā)散思維，并且善于運用發(fā)散思維。他非常重視“一題多解”、“一題多變”。例如：他對‘代數(shù)基本定理’，先 后給出了4種不同的證明；他對數(shù)論中的‘二次互反律’，先后給出了8種不同的證明（高斯稱‘二次互反律’

28、是數(shù)論中的一塊寶石，數(shù)論的酵母，是黃金定理）。,第一個證明是用歸納法；第二個證明是用二次型理論；第三個和第五個證明是用高斯引理；第四個證明是用高斯和；第六個和第七個證明是用分圓理論；第八個證明是用高次冪剩余理論。,他的每一種證明思路都導致數(shù)論的新方向。其后19世紀多位數(shù)論大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、庫默、戴德金、希爾伯特等人都給出了新的證明并發(fā)展了該理論。,有人曾問高斯：“你為什么能對數(shù)學作出那樣多的發(fā)現(xiàn)？”高斯答道：“

29、假如別人和我一樣深刻和持久地思考數(shù)學真理，他也會作出同樣的發(fā)現(xiàn)?！备咚惯€說：“絕對不能以為獲得一個證明以后，研究便告結束，或把另外的證明當作多余的奢侈品?！薄坝袝r候一開始你沒有得到最簡和最美妙的證明，但恰恰在尋求這樣的證明中才能深入到真理的奇妙聯(lián)想中去。這正是吸引我去繼續(xù)研究的主動力，并且最能使我們有所發(fā)現(xiàn)?！备咚惯@些言行，很值得我們學習和深思。,因此，我們在高等數(shù)學教學中，應利用一題多解、一題多變來培養(yǎng)訓練學生的發(fā)散思維，下邊我們舉幾

30、個例子：,解法一：,,,,,第一類換元積分法,一題多解：計算,解法二：,,,,第一類換元積分法,一題多解：計算,解法三：,,,,第一類換元積分法,一題多解：計算,解法四：令,,,,第二類換元積分法,一題多解：計算,解法五：令,,,,第二類換元積分法,一題多解：計算,解法六： 令,,,,第二類換元積分法,一題多解：計算,解法七：,分部積分法和第一類換元積分法,一題多解：計算,解法八：,分部積分法和第一類換元積分法,一題多解：計算,解法九：

31、歐拉代換法，令,一題多解：計算,解法十：歐拉代換法，令,一題多解：計算,解法十一：設,兩邊求導得：,于是：,待定系數(shù)法：,得到：,一題多解：計算,通過計算這一個題目，不但使用了多種計算不定積分的方法，把不定積分法學活了，更重要的是培養(yǎng)、訓練了發(fā)散式思考問題的思維方法.,可以用極限用三角公式變形；用洛必達法則；用無究小量的代換； 用泰勒公式；……等等。,又如：求極限,又如：證明不等式,可以用函數(shù)單調性；用中值定理； 用泰勒公

32、式； ……等等。,一題多變：,得知它是全微分方程，從而用全微分方程的解法求出其通解；,,求微分方程,通解,變形為：,由于：,得知它是齊次微分方程，從而用齊次微分方程的解法求出其通解；,,求微分方程,通解。,變形為：,一題多變：,一題多變：,,,求微分方程,通解,變形為：,發(fā)現(xiàn)它是伯努利方程，從而令 z = y2，化為線性微分方程，然后用線性微分方程的解法求出其通解。《高等數(shù)學一題多解200例選編》 （產品：手表、收音機、電

33、視機等）,一則小故事: 一位老太太有兩個女兒。大女兒嫁給雨傘店老板，小女兒當了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。,后來有一位聰明的人勸她：‘老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興隆；大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊?！@么一說，老太太生活的色彩竟煥然一新。,四、逆向思維,逆向思維（又稱反向思

34、維）是相對于習慣性思維的另一種思維形式。它的基本特點是從已有的思路的反方向去思考問題。它對解放思想、開闊思路、解決某些難題、開創(chuàng)新的方向，往往能起到積極的作用。,（1）如果遇到某些問題順推不行，可以考慮逆推。（2）如果遇到某些問題直接解決困難，想法間接 解決。（3）正命題研究過后，研究逆命題。（4）探討可能性發(fā)生困難時，轉而探討不可能性。 下面舉幾個高等數(shù)學中的例子:,1,d

35、y,,,但是，如果利用逆向思維，即反過來將x視為未知函數(shù)， y視為自變量，將方程變?yōu)椋?若將x視為自變量，y視為未知函數(shù)，求解此方程就困難，因為它既不是可分離變量的微分方程，也不是齊次微分方程，也不是全微分方程，而且對未知函數(shù)y來說也不是線性微分方程和貝努利方程。,求解微分方程：,,.,,),2,(,,2,y,x,y,dx,+,=,,,。,從而很容易求出其通解,它就是未知函數(shù)x的線性微分方程。,,],),1,(,2,1,[,,.,,),

36、2,(,,2,2,2,2,C,e,y,e,x,y,x,y,dy,dx,y,y,+,+,-,=,+,=,-,若直接解決有困難，想法間接解決。,解法一： 用間接的方法，即轉化為判斷級數(shù),故知級數(shù),收斂，而級數(shù)收斂的必要條件是：,例1 試求,解法二:利用夾逼定理,,,,例3：將y=xarctanx展成x的冪級數(shù)。 若用直接方法，先得求出此函數(shù)的各階導數(shù)，還得討論余項Rn(x)。,若用間接方法，就很簡便。,探討可能性發(fā)生困難

37、時，轉而探討不可能性。 下面我們例舉數(shù)學史上兩個最有名的問題：,關于非歐幾何的發(fā)現(xiàn),歐幾里得《幾何原本》第一卷中給出了五個公設，其中前四個簡單明了，（前三個是作圖的規(guī)定，第四個是“凡直角都相等”），符合亞里士多德公理“自明性”的要求，唯獨第五公設不僅文字啰嗦，而且所肯定的事實也不明顯。,此公設是“若一直線和兩條直線相交，所構成的兩同旁內角之和小于兩直角，那么把這兩直線延長，它們一定在兩內角的一側相交”。,,,,,這公設等

38、價于：“在平面上，過直線外一點，只能作一條直線與這條直線平行”。,,,歐,當兩條直線相交于非常遙遠的地方時，就無法判斷這兩條直線是否平行，因此不具有直觀的明顯性。因此沒有得到公認，于是就有人提出來把它作為定理來證明。但是許多數(shù)學家經歷了2000多年都以失敗告終，他們不是證明有錯誤，就是用另一條等價的公理代替了第五公設。,直到19世紀初，數(shù)學家們著手研究它的反問題━━歐幾里得第五公設不可證。特別是德國的高斯、匈牙利的鮑耶、俄國的羅巴切夫斯

39、基他們各自總結了前人和自己試證第五公設的失敗教訓。,高斯(1799,1813),羅巴切夫斯基 (1826,1829),鮑耶（1832）,他們首先肯定了歐幾里得第五公設是不能用其它公理作出證明，然后用一個與它相反的命題來代替它。即“在平面上，過直線外一點至少可引兩條直線與已知直線平行。”,,,,,,羅,從而建立了一種與歐幾里得不同的新的幾何體系。 高斯稱之為“反歐幾里得幾何” 羅巴切夫斯基稱之為“想象的幾何

40、” 后他又稱之為“泛幾何” 今天稱之為羅巴切夫斯基幾何（又稱雙曲幾何）。,后來德國數(shù)學家黎曼用一個既與歐幾里德第五公設的命題相反又與羅巴切夫斯基平行公理相反的命題來代替它們，即“在平面上，過直線外一點不可能引一直線與已知直線平行”。,,,,黎,從而建立了一種與歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何都不同的新的幾何體系，現(xiàn)稱為“黎曼幾何”（又稱橢圓幾何）。,現(xiàn)在人們把“羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何統(tǒng)稱為“非歐幾里得幾何”。,黎曼

41、(1854),非歐幾里得幾何的創(chuàng)立是幾何學上的革命，它不僅使數(shù)學家大開眼界，引起一些重要數(shù)學分支的產生，它的重要意義還在于使數(shù)學哲學的研究進入一個嶄新的歷史時期，它使人們對空間的認識更深刻，更完全了。例如，它對愛因斯坦的相對論提供了最合適的數(shù)學工具。因此許多人采用非歐幾何學作為宇宙的幾何模型。,本世紀偉大的數(shù)學家希爾伯特指出: “19世紀最富啟發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)”。,歐幾里得： 三角形內角和 =

42、 兩直角羅巴切夫斯基：三角形內角和 兩直角 后來許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎之上。例如：1844年格拉斯曼建立的n維仿射空間和度量空間幾何。,關于五次及五次以上代數(shù)方程根式求解問題,在16世紀之前，數(shù)學家們就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代數(shù)方程的根式解法。如：,那么，一般五次及五次以上的代數(shù)方程是否也存在根式解法呢？,這個問題吸引著眾多的數(shù)學家，他們相

43、信這種解法一定存在，包括：卡當（Cardano）、韋達(Viete)、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經歷了兩百多年的努力都未能找到解法。,,韋達,拉格朗日,經過無數(shù)次的失敗之后,直到19世紀初，一些數(shù)學家產生了逆向思維：首先是魯非尼（Ruffini）和拉格朗日，接著是阿貝爾(Abel)，把問題的提法倒了過來，去思考它的反問題：一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。,阿貝爾(Abel),阿貝爾從這種逆向思維出發(fā)，終于嚴格

44、地證明了：一般五次及五次以上的方程不能用根式求解，不但徹底解決了這樁歷史懸案，并且進而開創(chuàng)了近世代數(shù)方程的研究道路，包括群論和方程的超越函數(shù)解法。,幾何的三大難題：1. 三等分任意角;2. 化圓為方;3. 倍立方. ( 只用圓規(guī)、直尺),,逆向思維的基本特點,從已有思路的反方向去思考問題。順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決;正命題研究過后，研究逆命題；探討可能發(fā)生困難時，考慮探討不可能性。它有

45、利于克服思維定勢的保守性，它對解放思想、開闊思路、發(fā)現(xiàn)新生事物，開辟新的方向，往往能起到積極作用。,例如： 毒蛇、蝎子都令人生畏，但有人大膽地逆向思考，提出了以毒攻毒，結果制成了許多珍貴的藥品。 英國醫(yī)師琴納(Jener)發(fā)現(xiàn)牛痘能夠預防天花，實際上也是使用了逆向思維。 按正常思維，理發(fā)店燙發(fā)必然用火，用電，否則怎能“燙呢？但有人用逆向思維，結果發(fā)明了化學冷燙”。,“圍魏救趙” (“

46、36計”中的第2計),,桂陵（今長垣縣西邊），大梁（今開封）。,大梁,“司馬光擊缸救人” 常規(guī)辦法: 人離, 缸完, 水存; 司馬光采取了非常規(guī)辦法: 缸破, 水流, 人存 司馬光的急救之策，被世人稱頌。,沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。 ━━牛頓

47、 要想成為一個好的數(shù)學家，……你必須是一個好的猜想家。 ━━G?波利亞,牛頓,波利亞,五、數(shù)學與猜想,數(shù)學猜想是指依據(jù)某些已知事實和數(shù)學知識對未知量及關系所作出的一種似真的推斷，它是數(shù)學研究的一種常用的科學方法，又是數(shù)學發(fā)展的一種重要思維形式，它是科學假說在數(shù)學中的具體表現(xiàn)。 數(shù)學猜想作為一種數(shù)學潛形態(tài),它常常是數(shù)學

48、理論（定理）的萌芽和胚胎，它往往是數(shù)學發(fā)展到積累了大量資料，需要進行理論整理，探索其理論內部的矛盾規(guī)律這一階段上產生出來的，數(shù)學的創(chuàng)造過程與其它知識的創(chuàng)造過程一樣。你先得把觀察到結果加以歸納、類比，通過猜想……。,著名數(shù)學教育家波利亞（Polya）說：“在前輩數(shù)學家中，……歐拉對我的影響最大.主要原因在于，歐拉做了一些跟他才能相當?shù)膫ゴ髷?shù)學家從沒做過的事，即他解釋了他是如何發(fā)現(xiàn)他的結果的.對此，我是如獲至寶.”,,歐拉關于多面體的猜想

49、,“塔頂”體,截角立方體,八面體,猜想:是否面(F)的數(shù)目越多,頂點的數(shù)(V)越多?,,,,猜想:是否邊(E)的數(shù)目越多,面數(shù)(F)越多?頂點(V)也越多呢?,,,,,F + V = E + 2,由歸納得出:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F + V = E + 2,亭體的推廣:,(F+n-1)+(V+1)=(E+n)+2 從而 F+V=E+2截角立方體的推廣:,(F+1)+(V+n-1)=(E+n)+2 從而

50、F+V=E+2,棱: 水平邊=4*3=12 非水平邊=4*3=12 從而 E=24面: F =4*3=12頂點: V = 4*3=12 從而 F+V E+2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,類 比,凸多邊形: 如,,,,,,,,,顯然有 V ==== E (*)

51、 角(頂點) === 邊(棱) 將(*)改寫為(按維數(shù)增加的順序) V - E + 1 ==== 1 (**) 頂點數(shù) 邊數(shù) 多邊形內部面數(shù) (0維) (1維) (2維),凸多面體:,現(xiàn)將 F+V=E+2 改寫為(按維數(shù)增加的順序)

52、 V - E + F - 1 = 1 (***)頂點數(shù) 邊數(shù) 面數(shù) 多面體內部立體數(shù) (0維) (1維) (2維 ) (3維),比較(**)和(***) ,它們多么類似.,V - E + 1

53、 ==== 1 (**),若：,,則：,,若,可導， 有：,猜想（類比），是否有：,實際應為：,利用比較判別法，判定正項級數(shù),的斂散性時，首先，應對該級數(shù)的斂散性作一個猜想：若猜想該級數(shù)收斂，就需要找一個（或構造一個）收斂的級數(shù),，則猜想正確；若猜想該級,數(shù)發(fā)散，就需要找一個（或構造一個）,發(fā)散的級數(shù),著名教育家蘇霍姆林斯基說：“思維就像一棵花，它是逐漸地積累生命汁液的，只要我們用這種汁液澆灌它的根，讓它受到陽光照射

54、，它的花朵就會綻開?！?我講得不當之處,請大家諒解并指正. 謝謝大家!,附錄: 愛爾特希,匈牙利數(shù)學家，1913年生于布達佩斯，1984年獲沃爾夫獎，時年71歲。 主要專長與成就：數(shù)論、集合、概論、組合數(shù)學等，特別是與美籍挪威數(shù)學家塞爾貝格分別獨立地用初等到方法成功地證明了數(shù)論中的素數(shù)定理。,霍夫曼說：“愛爾特希必定是世界上最多產的，然而或許又是最怪僻的數(shù)學家”。 愛爾特希

55、說：“數(shù)學是無限廣大的，數(shù)本身是無窮的，這就是數(shù)學何以真的成了我唯一的興趣所在的原因”。,被稱為數(shù)學界的莫扎特： 莫扎特（Mozart,1751-1791）,奧地利杰出的作曲家，4歲能彈綱琴小曲，5歲即譜了數(shù)首小曲。一生中創(chuàng)作了582首音樂作品，不少為傳世精品。愛爾特希:（1）3歲、4歲，（2）10歲素數(shù)，（3）17歲（布達佩斯，大一）一切比雪夫定理，（被莫德爾邀請），（4）1934年去曼徹斯特，（5）四海為家，數(shù)學

56、中心，,（6）1500多篇論文，250多位合作者，（7）打電話，（8）1986年1500封信，（9）26歲創(chuàng)立概論、36歲用初等方法證明素數(shù)定理，（10）在普林斯頓卡茨講學，（11）在得克薩斯州機械學院，（12）與其母親，（13）服用安非他明，咖啡因片，數(shù)學是座堅強的促進壘，（14）睡5小時，“在墳墓里有的是休息時間”，（15）小說、電影、航天、畫展、吃飯，（16）愛爾特希問題，（17）與青年人并肩戰(zhàn)斗，1986（73歲）50多篇論文，