芝諾悖論

1、第七講 數(shù)學(xué)文化,目錄,一、概論二、數(shù)學(xué)美學(xué)三、數(shù)學(xué)思維四、數(shù)學(xué)哲學(xué)五、數(shù)學(xué)科學(xué)價值六、數(shù)學(xué)魅力七、數(shù)學(xué)史上的3次危機(jī)八、結(jié)語,一、 概論 什么是數(shù)學(xué) （美）R·柯朗（《數(shù)學(xué)是什么》）：“數(shù)學(xué)，作為人類智慧的一種表達(dá)形式，反映生動活潑的意念，深入細(xì)致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎(chǔ)是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性?！?（英）羅素：“數(shù)學(xué)是所有形如p蘊(yùn)含q的命

2、題的類”， 而最前面的命題p是否對，卻無法判斷。 因此“數(shù)學(xué)是我們永遠(yuǎn)不知道我們在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學(xué)科?！?哲學(xué)說符號說　科學(xué)說　工具說　邏輯說　創(chuàng)新說　直覺說 集合說,結(jié)構(gòu)說（關(guān)系說） 模型說 活動說 精神說 審美說 藝術(shù)說　萬物皆數(shù)說,數(shù)學(xué)的15個“定義”,哲學(xué)說,亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學(xué)和哲學(xué)看作是相同的?！?古希臘，亞里士多德、歐幾里得 等人，《

3、幾何原本》：點(diǎn)是沒有部分的那種東西； 線是沒有寬度的長度。 牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》的序言中說，他是把這本書“作為哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的著作”，“在哲學(xué)范圍內(nèi)盡量把數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)出來”。,數(shù)學(xué)與哲學(xué) 數(shù)學(xué)中“無限”的概念、“連續(xù)”的概念，一經(jīng)出現(xiàn)，便成了哲學(xué)研究的對象。 “哲學(xué)從一門學(xué)科中退出， 意味著這門學(xué)科的建立；而數(shù)學(xué)進(jìn)入一門學(xué)科，就意味著這門學(xué)科的成熟

4、?！?B.Demollins:“沒有數(shù)學(xué)，我們無法看透哲學(xué)的深度，沒有哲學(xué)，人們也無法看透數(shù)學(xué)的深度，而若沒有兩者，人們就什么也看不透?！?哲學(xué)系的“邏輯學(xué)”專業(yè)與數(shù)學(xué)系的“數(shù)理邏輯”專業(yè)。,二、 數(shù)學(xué)美學(xué),（一）黃金分割點(diǎn)、完美數(shù)、mersen數(shù)、素?cái)?shù)，無限數(shù)e與圓周率。 （二）斐波那契數(shù)列（三）對稱幾何：點(diǎn)對稱、線對稱、面對稱、球?qū)ΨQ。球面被認(rèn)為最完美！古希臘對圓和球面的

5、美的最求促進(jìn)了科學(xué)研究的發(fā)展。 代數(shù)與函數(shù)論：共軛數(shù)（共軛復(fù)數(shù)、共軛空間）。運(yùn)算：交換律、分配律，函數(shù)與反函數(shù)運(yùn)算。,（四）符號語言簡潔牛頓用數(shù)學(xué)語言展示了他的三大定律；愛因斯坦用黎曼幾何的語言闡述了他的廣義相對論；數(shù)學(xué)家用群論的語言解決了晶體分類的問題；經(jīng)濟(jì)學(xué)家用數(shù)學(xué)語言表述了經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的規(guī)律。物理中的布朗運(yùn)動成為概率論中的語言，生物中的遺傳基因DNA，原來是數(shù)學(xué)中的雙螺旋線，醫(yī)學(xué)上已經(jīng)出現(xiàn)“數(shù)字化人體”的概念。,數(shù)學(xué)

6、語言是人類文明的共同語言 地球上不同地域的人們在不同時間各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了“圓周長與直徑的比是一個常數(shù)”， “直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”等規(guī)律，數(shù)學(xué)語言超越不同語音成為人類文明人類思維的共同的符合語言。,“ε—δ”語言、集合論語言、公理化語言,“ε—δ”語言、集合論語言、公理化語言都是在不同歷史時期產(chǎn)生的數(shù)學(xué)語言，他們在數(shù)學(xué)發(fā)展史上都發(fā)揮了很大的作用。特別是集合論語言、公理化語言，現(xiàn)在已經(jīng)

7、成為數(shù)學(xué)語言的核心部分和公用形式。,,三、數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)能提供觀察世界的一般觀念和方法，對人類思維發(fā)展具有不可或缺的作用和價值。,,邏輯思維：演繹 當(dāng)歸納具有完全性時，其方法可以說屬于邏輯的范疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。 演繹思維最早來自幾何學(xué)，其影響之廣泛使得人們特別看重演繹科學(xué)的地位。 數(shù)學(xué)有極強(qiáng)的邏輯性和抽象性。,數(shù)學(xué)家在從事數(shù)學(xué)研究的同時，受一定哲學(xué)

8、觀念的支配，同時，研究成果也影響著他們的世界觀。畢達(dá)格拉斯、伽利略、笛卡兒、開普勒認(rèn)為世界是數(shù)的體現(xiàn)，世界是按數(shù)學(xué)公式運(yùn)行的，宇宙的書本是按數(shù)學(xué)寫成的。數(shù)與世界密不可分。許多數(shù)學(xué)家都是哲學(xué)家。,四、數(shù)學(xué)與哲學(xué),（一） 有限與無限數(shù)學(xué)概念的哲學(xué)思想 什么是悖論 悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。 例如：“甲是乙”與“甲不是乙”這兩個命題中總有一個是

9、錯的；但“本句話是七個字”與“本句話不是七個字”又均是對的，這就是悖論。,再如：“萬物皆數(shù)”學(xué)說認(rèn)為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對角線之長卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。,芝諾悖論 芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實(shí)的；運(yùn)動只是假象。于是他設(shè)計(jì)了四個例證，人稱“芝諾悖論

10、”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。我們從數(shù)學(xué)角度看其中的一個悖論。,四個芝諾悖論之一： 阿基里斯追不上烏龜。 癥結(jié)： 無限段長度或時間的和，可能是有限的。 芝諾悖論的意義： 促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展 較早的“反證法”及“無限”的思想 尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾

11、 空間和時間有沒有最小的單位,芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續(xù)的”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散的”。在芝諾看來，這兩種理論都有毛??；所以，“運(yùn)動只是假象，不動不變才是真實(shí)”。 芝諾如此尖銳地提出了空間和時間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進(jìn)了認(rèn)識的發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻(xiàn)。,無限與有限： 在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)）。 在有限的情況下，部分

12、總是小于全體。,當(dāng)初的伽利略悖論，就是因?yàn)闆]有看到 “無限”的這一個特點(diǎn)而產(chǎn)生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

13、 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n2 … [ 該兩集合：有一一對應(yīng)，于是推出兩集合的元素個數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數(shù)不相等。這就形成悖論。],在“有限”與“無限”間建立聯(lián)系： 數(shù)學(xué)歸納法 通過有限的步驟，證明了命題對無限個自然數(shù)均成立。 極限 通過有限的方法，描寫無限的過程。

14、,,,,,,無窮級數(shù) 通過有限的步驟，求出無限次運(yùn)算的結(jié)果，如 遞推公式 , a1 = * 因子鏈條件（抽象代數(shù)中的術(shù)語）,,,意識無限與實(shí)無限 1．意識無限與實(shí)無限 意識無限把無限看成一個永無終止的過程，認(rèn)為無限只存在于人們的思維中。,從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持這種無限的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為“正

15、整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個個正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫起，每寫一張，就把該紙條裝進(jìn)一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。 因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個實(shí)體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。,但康托不同意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這個裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個完整的實(shí)體。這就是實(shí)無限的觀點(diǎn)。 康托的工作是劃時代的，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時，康托的老

16、師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托的觀點(diǎn)。所以康托當(dāng)時的處境和待遇都不太好。,康托Georg Ferdinand Philip Cantor (1845～1918) 德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年

17、在庫默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。,無限集合也有“大小” ——從“一一對應(yīng)”說起 實(shí)無限的觀點(diǎn)讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的“大小”。 正整數(shù)集合是最“小”的無限集合。 實(shí)數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實(shí)數(shù)

18、集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實(shí)數(shù)集合更大。 不存在最“大”的無限集合（即對于任何無限集合，都能找到更“大”的無限集合）。,“一一對應(yīng)”的觀點(diǎn)： “一一對應(yīng)”——雙射（單射+滿射） 集合的勢|A|——集合中元素的多少 |N| =可數(shù)無窮勢 a ， |Q|= a |R| =不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢 c）, ：無理數(shù)比有理

19、數(shù)多得多。,無窮集合可能有不同的勢，其中最小的勢是 a ；不存在最大的勢。 “連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”長期未徹底解決。 康托1882年曾認(rèn)為他證明了這一假設(shè)，后來發(fā)現(xiàn)證明有錯。 直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)學(xué)家的興趣。,,（二）數(shù)學(xué)與宗教,1.科學(xué)與宗教 愛因斯坦：“沒有宗教的科學(xué)是瘸子，沒有科學(xué)的宗教是瞎子?！?,中世紀(jì)后期（公元11世紀(jì)至15世紀(jì)） 理性成為基

20、督神學(xué)的主要支柱，其標(biāo)志就是在11世紀(jì)產(chǎn)生的 “經(jīng)院哲學(xué)” 。 經(jīng)院哲學(xué)是與宗教神學(xué)相結(jié)合的唯心主義哲學(xué)，是天主教教會用來訓(xùn)練神職人員，在其所設(shè)經(jīng)院中教授的理論。 安瑟倫（經(jīng)院哲學(xué)的開創(chuàng)者）：邏輯三段論、演繹推理 托馬斯.阿奎那（經(jīng)院哲學(xué)的集大成者）：歸納推理 經(jīng)院哲學(xué)運(yùn)用理性形式通過抽象而煩瑣的辯證方法論證基督教信仰 。他們的論證引出了科

21、學(xué)論證的風(fēng)氣。雖然比較枯燥和晦澀，但客觀上導(dǎo)致了一種方法論。,,文藝復(fù)興時期（ 17世紀(jì) ） 幾乎17世紀(jì)的科學(xué)家都是自然神論者，沒有一個不信奉上帝。 自然神論：上帝是最大的理性，是規(guī)律；大自然是上帝的杰作，體現(xiàn)了上帝的偉大神性，我們認(rèn)識自然的規(guī)律與和諧性就是對上帝的信仰和膜拜。牛頓定律掌管世界的運(yùn)行。 自然神論的意義：為科學(xué)爭得一席之地，科學(xué)不再需要宗教的指手畫腳，

22、只需承認(rèn)世界由上帝創(chuàng)造即可。,,18世紀(jì)法國崛起的無神論者徹底把上帝從自然界趕了出去，他們認(rèn)為不存在超理性的東西，無須在自然界尋求奇跡和奧秘。 他們只要自然，不要上帝，把一切都拉入理性的旗幟下面，理性成為萬能的。,,康德把科學(xué)與宗教截然分開。一方面：科學(xué)屬于人類經(jīng)驗(yàn)范圍，而宗教是超經(jīng)驗(yàn)的。如果我們僭越自身的經(jīng)驗(yàn)去追求不在經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)的上帝，只會導(dǎo)致二律背反，這樣康德就徹底而系統(tǒng)地把上帝從自然中驅(qū)逐出去。另一

23、方面：在另外一個靈魂不朽的世界里，上帝會按照每個人的德行對其進(jìn)行審判。只有這樣才能使科學(xué)不斷的發(fā)展，而同時社會的道德水平又可以保持在一個較高的狀態(tài)。即，宗教可以給人提供道德，而道德將給科學(xué)指明方向。（醫(yī)學(xué)倫理學(xué)、生命倫理學(xué)、環(huán)境倫理學(xué)、宇宙?zhèn)惱韺W(xué)等）,2.中世紀(jì)的數(shù)學(xué),占星術(shù)：中世紀(jì)的早期，數(shù)學(xué)這個名詞所表示的意義就是占星術(shù)。這是由于想要研究星球的運(yùn)轉(zhuǎn)，豐富的數(shù)學(xué)知識是必需的，因此，占星術(shù)的教授就叫做Mathemathici

24、i。 中世紀(jì)的占星術(shù)并沒有被認(rèn)為是愚蠢及天真的人所沉溺的迷信，相反地，它被認(rèn)為是一種科學(xué)。而且其原理被接受的程度，就如同后來人們接受哥白尼的天文學(xué)及十九世紀(jì)的萬有引力定律一般。培根、卡丹以及開普勒也贊同占星術(shù)的理論，同時用他們豐富的科學(xué)及數(shù)學(xué)知識來研究它。甚至伽利略也曾對醫(yī)學(xué)院的學(xué)生演講天文方面的知識，以供他們應(yīng)用在占星術(shù)上。,,數(shù)學(xué)與基督教會之間的關(guān)系 一方面：教會在編制歷法，特別是在推算

25、復(fù)活節(jié)的日期時，占星術(shù)、幾何學(xué)以及算學(xué)的知識是非常重要的。所以在歐洲的每一所修道院內(nèi)，都至少有一位修道士能夠執(zhí)行這項(xiàng)工作。 另一方面：數(shù)學(xué)可用來當(dāng)作研究神學(xué)的入門。這是由于在中世紀(jì)后期，從阿拉伯傳入大量被翻譯成拉丁文的希臘抄本，特別是亞里士多德的學(xué)說和邏輯，更是為當(dāng)時人所熟知。因此教會必須面臨的挑戰(zhàn)就是如何去調(diào)和亞里士多德哲學(xué)和天主教的神學(xué)、形而上學(xué)和啟示錄之間的一致性。此時以阿奎那為代表的經(jīng)院派學(xué)者對這些

26、基督教義作出了全然理性的護(hù)衛(wèi)，為神學(xué)提供了一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)，并且融合了天主教義和亞里士多德的哲學(xué)而成為一個合理的體系，從而為阿奎那贏得了“精神上的歐幾里得”的頭銜。,,印度人:應(yīng)用巴比倫人的位值原理，建立了十進(jìn)位的觀念，并且將巴比倫的分開符號轉(zhuǎn)變成發(fā)展完備的零記號。據(jù)歷史記載，印度人最先完整地創(chuàng)造了一種非常重要的新概念，那就是負(fù)數(shù)的概念。阿拉伯人:在數(shù)學(xué)上突出成就，主要表現(xiàn)在代數(shù)學(xué)、三角學(xué)方面。更為重要的是，阿拉伯人

27、將古代東方數(shù)學(xué)文化傳播到了歐州，從而為歐洲近代代數(shù)學(xué)的建立作出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。,,《幾何原本》與《圣經(jīng)》 《幾何原本》和《圣經(jīng)》，一個是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的杰作，一個是基督教典籍；一個是嚴(yán)謹(jǐn)精確的，另一個又是超越理性的。 這兩本書在結(jié)構(gòu)和根基上以及對人類文明的貢獻(xiàn)上都有著許多相似之處。 直到現(xiàn)在還有很多人由于對數(shù)學(xué)的本質(zhì)不了解，以為數(shù)學(xué)是個奧秘；同樣的，《圣經(jīng)》中的神

28、圣啟示對于很多人甚至基督徒也是個深不可測的奧秘。但是一旦接受開啟，這個奧秘就可以成為人們真實(shí)的經(jīng)歷和享受。,,《幾何原本》是古希臘偉大學(xué)者歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數(shù)學(xué)的成果和精神于一書。既是一本數(shù)學(xué)巨著，也是一本哲學(xué)巨著，在長達(dá)兩千多年的時間里它經(jīng)歷多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷版本出版，至今已經(jīng)有1000多種不同的版本。除《圣經(jīng)》以外沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛能夠與《幾何原本》相比?！?/p>

29、圣經(jīng)》更是一部不朽的著作，歷經(jīng)3400年而不衰（《圣經(jīng)》中最古老的經(jīng)卷約成書于公元前1400年左右），其包含內(nèi)容之豐富，發(fā)行量之大是任何其他一本著作無法比擬的。據(jù)統(tǒng)計(jì)1984年共有1634種語言的《圣經(jīng)》譯本已經(jīng)完成，另有1200多種語言在翻譯之中。,,歐幾里得選擇了5條公設(shè)和5條定理，從這些有限的公設(shè)、公理以及最基本的一些定義出發(fā)，以形式邏輯的方法通過完美、嚴(yán)密的推理、演繹來論證命題，推演出整個幾何學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

30、 《圣經(jīng)》做為基督教神學(xué)系統(tǒng)的唯一一部典籍也有自己的信仰基石或者說不證自明的公理，那就是：圣父上帝是宇宙的創(chuàng)造者，死而復(fù)活的圣子耶穌是人類的拯救者，圣靈是居住在每一位被造者心中的啟示者，圣父、圣子、圣靈是三位一體的獨(dú)一真神?；叫叛稣哒怯捎跓o條件接受了這樣的信仰基石，才會將自己的生命完全的交由上帝來掌管，遵循《圣經(jīng)》所教導(dǎo)的誡命、律例和典章。,,數(shù)學(xué)的神學(xué)使命 《圣經(jīng)》宣稱宇宙是由上帝創(chuàng)造的，但是沒有記載

31、他是按照什么法則創(chuàng)造出了如此完美和諧的宇宙，《圣經(jīng)》只是告訴人們上帝在完成了這一切工作之后就將管理世界的任務(wù)交給了人類。 而研究始于3000年前的數(shù)學(xué)就是探索空間理性的學(xué)科，是探索上帝存在的學(xué)科，是想找到宇宙“本基”的學(xué)科，是為了研究上帝的本性和做法以及上帝安排宇宙的方案的學(xué)科。文藝復(fù)興時期的科學(xué)家都相信由上帝所創(chuàng)造的自然是數(shù)學(xué)化的，每一種自然現(xiàn)象都遵從數(shù)學(xué)定律。,,物理世界的性質(zhì)只有用數(shù)學(xué)表示出來才是真正可知的

32、。世界的結(jié)構(gòu)和行為是數(shù)學(xué)的，自然界按照亙古不變的十分精確的數(shù)學(xué)定律在運(yùn)行。因此，上帝按照和諧的數(shù)學(xué)定律設(shè)計(jì)、創(chuàng)造了這個世界。人們只有通過艱苦的努力才能理解、領(lǐng)悟這種 秩序。這也就是為什么牛頓能夠?qū)ζD巨的、有時甚至是乏味的科學(xué)工作津津樂道，其原因就在于他認(rèn)為這些工作為揭示上帝的旨意提供了線索。18世紀(jì)末期英國浪漫主義先驅(qū)威廉·布萊克在他的油畫《創(chuàng)造者》中，就將上帝描繪為手拿圓規(guī)測量天地的巨人。,,羅吉爾.培根:

33、大自然是用幾何語言寫成的。 笛卡爾：深信整個自然界就是一個巨大的幾何體系。 開普勒：宣稱世界的實(shí)在性由其數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)成。 伽利略：數(shù)學(xué)定律是現(xiàn)象的真正起因，數(shù)學(xué)原理是上帝描繪整個世界的字母，沒有數(shù)學(xué)原理的幫助，就不可能了解任何一個現(xiàn)象，人們只能徒勞地在黑暗的迷宮中徘徊。,,神秘的圣經(jīng)數(shù)字153三角數(shù)字：可以排列成如下圖形的數(shù)字

34、 ○ 1 ○ 1 ○ ○ 2

35、○ 1 ○ ○ 2 ○ ○ ○ 3 ○ ＋1 ○ ○ ＋2 ○ ○ ○ ＋3 ○ ○ ○ ○ ＋4 1 3 6

36、 10三角數(shù)字并非尋常。當(dāng)數(shù)目增大時，這些特別的數(shù)字就變得極為缺少。例如：在兩百萬，即 個自然數(shù)內(nèi)，其中的三角數(shù)還不到 個，平均只占千分之一。由等差數(shù)列求和公式可知，第 個三角數(shù)即為 。,,,,,,153的神奇性質(zhì) （三角數(shù)）

37、任取一個是3的倍數(shù)的自然數(shù)，然后進(jìn)行如下變換：把該自然數(shù)所包含的各位數(shù)字的立方相加，其和再作為變換后的新數(shù)字。反復(fù)進(jìn)行上述變換，經(jīng)過有限次以后，結(jié)果必然到達(dá)153。例如： 對24進(jìn)行變換，過程是：24→72→351→153。 對123進(jìn)行變換，過程是： 123→36→243→99→1458→702→351→153,,,,,自我生成數(shù)自我生成數(shù)：任意一個具有某種性質(zhì)的整數(shù)將它各

38、位上的數(shù)字，如果按照一定規(guī)則對其進(jìn)行數(shù)次變換，最后落在一個不變的數(shù)上，這個不變的數(shù)就被稱作“自我生成數(shù)”，或者叫“自戀數(shù)”。因此，規(guī)則決定了什么樣的數(shù)是一個自我生成數(shù)。例如：任寫一個數(shù)字不相同的三位數(shù)(數(shù)字相同的111、222、333、……999除外)，將組成這個數(shù)的三個數(shù)字重新組合，使它成為由這三個數(shù)組成的最大數(shù)和最小數(shù)，而后求出這新組成的兩個數(shù)的差，再對求得的差重復(fù)上述過程，最后得到的的自我生成數(shù)是495。,,“圣經(jīng)

39、數(shù)”153的神學(xué)涵義公元5世紀(jì)亞歷山大主教西利爾（Cyril）153＝100＋50＋3，其中100代表外邦人的完全數(shù)，50代表將被聚集的以色列余民，3代表三位一體的真神。      5世紀(jì)前后神學(xué)家奧古斯丁由于153＝1＋2＋3＋……＋17；而17＝10＋7，其中10代表（摩西）十誡，7代表恩典，所以17代表借著律法和恩典到耶穌跟前來的所有人。  &#

40、160;   公元4世紀(jì)偉大圣經(jīng)學(xué)者耶柔米象征萬國萬民都要在基督面前聚集。 當(dāng)代圣經(jīng)學(xué)者巴克萊153說明了教會的普世性。所謂“普世性”，簡單地講就是教會不僅僅是教徒的教會，而應(yīng)該是全人類的教會。,圣經(jīng)故事中的“親和數(shù)對”與“半親和數(shù)對”,親和數(shù)對：兩個數(shù)被稱為親和數(shù)對，如果其中任意一個數(shù)的所有約數(shù)之和等于另外一個數(shù)。如圖，220和284是一對親和數(shù)。,,“萬物皆數(shù)”是古希臘“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”的重要思想，該

41、學(xué)派宣稱人之間講友誼，數(shù)之間也有“相親相愛”。據(jù)說，一個門徒向畢達(dá)哥拉斯提出這樣一個問題：“我結(jié)交朋友時，存在著數(shù)的作用嗎？”畢達(dá)哥拉斯毫不猶豫地回答：“朋友是你的靈魂的倩影，就是你中有我、我中有你，要象220和284一樣親密?！?后來，人們把220和284叫做“親和數(shù)”或者叫“朋友數(shù)”或叫“相親數(shù)”，這就是關(guān)于“親和數(shù)”這個名稱來源的傳說。正是由于親和數(shù)對這種“你中有我，我中有你，水乳交融”的特殊性質(zhì)，教會初期的幾百

42、年間有一個習(xí)慣：就是為了表達(dá)兩個人的友誼，每人各佩戴220和284這兩個數(shù)字中的一個。,五、數(shù)學(xué)的科學(xué)價值 （一）數(shù)學(xué)對人類文明的貢獻(xiàn),萬有引力定律?；陂_普勒行星運(yùn)動的三大定律，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。他把其最重要的著作命名為《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，是因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)新宇宙的思維方式是數(shù)學(xué)的思維方式。在這本書中，牛頓用了大量“微積分”的知識和非常復(fù)雜的幾何知識與技巧。,“,相對論。愛因斯坦分別于1905年和1915年提出

43、狹義相對論，廣義相對論，這是對物理學(xué)的重大變革，其核心內(nèi)容是時空觀的改變。愛因斯坦的時空觀認(rèn)為時間和空間是相互聯(lián)系的。四維空間的洛侖茲變換是這種數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式。,,電磁波的發(fā)現(xiàn)。英國物理學(xué)家麥克 斯韋概括了由實(shí)驗(yàn)建立起來的電磁 現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程 的形式”，用純粹數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出 可能存在著電磁波并且這些電磁波 應(yīng)該以光速傳播者。據(jù)此，他提出 了光的電磁理論。

44、此外，他的結(jié)論 還推動了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾?磁波。,,最近，兩位美國數(shù)學(xué)家解開了一個困擾科學(xué)界長達(dá)50年的“簡單”問題：啤酒泡和肥皂泡在膨脹、收縮及合并時的數(shù)學(xué)規(guī)律。該研究成果將對工程學(xué)的泡沫材料設(shè)計(jì)、生物學(xué)的組織結(jié)構(gòu)研究以及物理學(xué)的晶體顆粒排列探測產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，相關(guān)論文發(fā)表在2007年4月26日的《自然》雜志上。 （氣泡脹大、收縮或者合并，背后的驅(qū)動力都是表面張力，氣泡的變化，取決于表面總曲率

45、）,,神州六號的升空，宣告了我國具有制造和發(fā)射航天飛機(jī)的能力。在神舟六號的研制過程中，數(shù)學(xué)起了不可替代了作用，尤其是在軌道測算，時間測算等方面。,,1973年，美國芝加哥大學(xué)學(xué)者f·布萊克與m·肖萊斯提出了布萊克－肖萊斯期權(quán)定價模型（black-scholes option pricing model），對股票期權(quán)的定價作了詳細(xì)的討論。此后，不少學(xué)者（Merton）又對該模型進(jìn)行了修正、發(fā)展與推廣，極大地推動了期權(quán)定

46、價理論的研究。該模型中用到很多數(shù)學(xué)知識。他們也因此獲得了1997年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。 （上圖為Merton，哈佛大學(xué)； 下圖為Scholes，芝加哥大學(xué)。）,素?cái)?shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用 圓錐曲線論在行星運(yùn)動開普勒三定律中的應(yīng)用 黎曼幾何在廣義相對論中的應(yīng)用 陳省身的纖維叢理論在楊振寧的規(guī)范場理論中的應(yīng)用 正電子、黑洞與電磁

47、場的發(fā)現(xiàn) 諾貝爾物理學(xué)獎獲得者溫伯格(S?Weinberg)曾無可奈何地感嘆：“當(dāng)一個物理學(xué)家得到一個時，卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學(xué)家已經(jīng)得到了。”,（二）統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值,在工業(yè)上的應(yīng)用Statistical Quality Control (On line)Taguchi Methods (Off-line)6 Sigma Methods Beginner, Black belt, Master bl

48、ack belt, Green belt, Champion, ExecutiveReliability,1986西格瑪方法被引入摩托羅拉公司,1987制定1992 應(yīng)達(dá)到西格瑪目標(biāo),1988 馬科姆·鮑德里奇全美質(zhì)量大獎,1991 引入“黑帶創(chuàng)意”,1992 每兩年減少缺陷十倍，運(yùn)作周期每五年降低10倍。,1998 公司重組,1999 行為準(zhǔn)則，追求卓越和平衡的記分卡,2002 西格瑪業(yè)務(wù)改進(jìn),摩托羅拉公

49、司六西格瑪?shù)陌l(fā)展,2003 數(shù)字六西格瑪,Reliability,產(chǎn)品壽命分布及統(tǒng)計(jì)分析 恒進(jìn)應(yīng)力壽命試驗(yàn) 加速應(yīng)力壽命試驗(yàn)截尾數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 定時截尾 定數(shù)截尾,Design of Experiment,000001010011100101110111,乾、 坤、震、 巽、 坎、 離、 艮、 兌。,這是一個最基本的正交表,,Design of Experiment,３６軍

50、官問題（這是１８世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉提出的） 設(shè)有６種軍銜和來自６個團(tuán)的３６名軍官，能不能把他們排成６行６列的方陣，使得每行每列里都有每種軍銜的一名軍官和每個團(tuán)的一名軍官？ 數(shù)學(xué)問題：是否存在6階的正交拉丁方？,SPRT檢驗(yàn),20世紀(jì)40年代，Wilks在普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系工作，并任華盛頓海軍研究局顧問，成立了普林斯頓統(tǒng)計(jì)研究小組(SRG-P)。當(dāng)Theodore W. Anderson還是此小組的研究生時研究了如下課題：由于日

51、本人以隨機(jī)形態(tài)在海岸線上布滿地雷，而進(jìn)攻日本本土日子越來越近，故美國需要找出一種毀壞地雷的有效方法。在此之前，歐洲曾嘗試過從飛機(jī)上丟炸彈來引爆地雷，但效果不好。于是，Anderson等人設(shè)計(jì)一種新方法，但實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明這種方法并不有效。這樣就導(dǎo)致美國在日本投下原子彈的原因之一。,SPRT檢驗(yàn),Wilks又在哥倫比亞大學(xué)組建了第二個統(tǒng)計(jì)研究小組(SRG-Pjr)，這個小組的成果之一即是提出了與此與此序貫分析（序貫分析當(dāng)時被列為最高機(jī)密，直至

52、戰(zhàn)爭結(jié)束多年后，參加這項(xiàng)研究的專家都不能對外發(fā)表論文）。后來，Abraham Wald通過高度抽象的理論歸納，提出了決策理論。,The Applications In Social Sciences,數(shù)據(jù)：美國佛羅里達(dá)，1976--1977年兇殺案結(jié)論：白人被判死刑的比例為：19/160=11.9% 黑人被判死刑的比例為：17/166=10.2%,The Applications In Social Scie

53、nces,Contingency Table （列聯(lián)表）,在IT業(yè)中的應(yīng)用,分類、搜索圖像或模式識別網(wǎng)絡(luò)完全（數(shù)字簽名）,統(tǒng)計(jì)在醫(yī)藥衛(wèi)生中的應(yīng)用,Biostatistics 制藥業(yè)（比對試驗(yàn)） 疾病的診斷（Bayes方法，圖模型等） 病理分析 疾病的控制,The Applications In Bioinformation,六 、數(shù)學(xué)魅力,（一）混沌與分形 1967年法國數(shù)學(xué)家B.B.Mande

54、lbrot在《科學(xué)》雜志上發(fā)表文章“英國的海岸線有多長？”,Mandelbrot發(fā)現(xiàn)：當(dāng)測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。,在理論數(shù)學(xué)中，瑞典數(shù)學(xué)家Koch早在1904年就構(gòu)造了如今稱之為“柯赫曲線”(Koch curve)的幾何對象。,,B.B.Mandelbrot： “1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，創(chuàng)造出分形（fractal）一詞。分形是幾何外形，它與歐幾里得外形相反，是沒有規(guī)則的。

55、” “首先，它們處處無規(guī)則可言。其次 ，它們在各種尺度上都有同樣程度的不規(guī)則性。不論從遠(yuǎn)處觀察，還是從近處觀察，分形看起來一個模樣——它是自相似的。,,“整體中的小塊，從遠(yuǎn)處看是不成形的小點(diǎn)，近處看則發(fā)現(xiàn)它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。 ” “自然界提供了許多分形實(shí)例。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規(guī)則保證

56、了小尺度上的特征成長后就變成大尺度上的特征。” ---- B.B.Mandelbrot,,Mandelbrot集,,1. 混沌的特點(diǎn) 1) 混沌是決定論系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性，這種隨機(jī)性與我們過去所了解的隨機(jī)性現(xiàn)象，比如拋硬幣等有很大的區(qū)別。 2) 混沌對初值的敏感依賴性。在線性系統(tǒng)中，小擾動只產(chǎn)生結(jié)果的小偏

57、差，但對混沌系統(tǒng)，則是“失之毫厘，謬以千里”。 3) 混沌不是簡單的無序，更不是通常意義下的有序。,,混沌的意義 1) 混沌的發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)危機(jī)是不同的。數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對于數(shù)學(xué)根基的質(zhì)疑，而混沌則是人們在看似簡單的問題中發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜的現(xiàn)象。 2) 混沌絕不單單是有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，混沌是比有序更為普遍的現(xiàn)象，它使我們對物質(zhì)世界有了更深一層的認(rèn)識

58、，為我們研究自然的復(fù)雜性開辟了一條道路，同時也引出了關(guān)于物質(zhì)世界認(rèn)識論上的一些哲學(xué)思考。,混沌學(xué)的應(yīng)用,通過對生命現(xiàn)象進(jìn)行的考察，發(fā)現(xiàn)各種各樣的生物節(jié)律既非完全周期，又不可能屬于純粹隨機(jī)，它們既有與自然界周期（季節(jié)，晝夜等）協(xié)調(diào)的一面，又有著內(nèi)在的復(fù)雜性質(zhì)。 20世紀(jì)20年代后期已經(jīng)有人用非線性電路模擬過心臟搏動。近幾年更發(fā)現(xiàn)了心律不齊等病癥與混 沌運(yùn)動的聯(lián)系。,,如果考察人類腦電波，對比就更為尖銳。癲癇患者發(fā)病

59、時的腦電波呈明顯的周期性，而正常人的腦電波近乎隨機(jī)訊號。 進(jìn)一步測量表明它們不是隨機(jī)的，而是接近于混沌系統(tǒng)。 雖然距離最終認(rèn)清它們還很遠(yuǎn)，但現(xiàn)在已有人進(jìn)行利用混沌過程預(yù)測和控制癲癇，心律不齊等等病癥。,,基于混沌理論的保密通信、信息加密和信息隱藏技術(shù)的研究已成為國際熱門前沿課題之一，也是高科技研究的一個新領(lǐng)域。 盡管已有許多混沌加密方案被提出，但混沌密碼學(xué)的理論還未完全

60、成熟，混沌密碼學(xué)的研究仍然是一個新的具有挑戰(zhàn)性的前沿課題。,,目前將將混沌理論應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)理論上的研究也十分活躍，但混沌理論最現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的應(yīng)屬于美國一交通工程師小組，他們在1988年把混沌與錯綜復(fù)雜的交通圖形聯(lián)系了起來，若有人被停停走走堵塞在公路上，那他就可以把責(zé)任推給混沌。,（二）漁網(wǎng)的幾何規(guī)律,用數(shù)學(xué)方法可以證明，無論你用什么繩索織一片網(wǎng)，無論你織一片多大的網(wǎng)，它的結(jié)點(diǎn)數(shù)(V)，網(wǎng)眼數(shù)(F)，邊數(shù)(E)都必定適合下面的公式：

61、 V + F – E = 1,多面體的歐拉公式,V + F – E = 2,數(shù)學(xué)就有這樣的本領(lǐng)，能夠把看起來復(fù)雜的事物變得簡明，把看起來混亂的事物理出規(guī)律。,（三）四色問題,四色問題也稱“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英國大學(xué)生F．古色利提出。他在為一張英國地圖著色時發(fā)現(xiàn),為了使任意兩個具有公共邊界的區(qū)域顏色不同，似乎只需要四種顏色就夠了。但是他證明不了這一猜想。于是寫信告訴他的

62、弟弟弗雷德里克。弗雷德里克轉(zhuǎn)而請教他的數(shù)學(xué)老師,杰出的英國數(shù)學(xué)家德·摩根，希望幫助給出證明。,一百多年來許多數(shù)學(xué)家對四色問題進(jìn)行了大量的研究,獲得了一系列成果。1920年弗蘭克林證明了,對于不超過25個國家的地圖,四色猜想是正確的。1926年雷諾茲將國家的數(shù)目提高到27個。1936年弗蘭克林將國家的數(shù)目提高到31個。1968年挪威數(shù)學(xué)家奧雷證明了,不超過40個國家的地圖可以用四種顏色著色。但是，他們都沒有最終證明“四

63、色猜想”。,四色問題的解決,直到1972年，美國依利諾大學(xué)的哈肯和阿佩爾在前人給出算法的基礎(chǔ)上，開始用計(jì)算機(jī)進(jìn)行證明。到1976年6月,他們終于獲得成功。他們使用了3臺IBM360型超高速電子計(jì)算機(jī),耗時1200小時,終于證明了四色猜想。,這是一個驚人之舉。當(dāng)這項(xiàng)成果在1977年發(fā)表時,當(dāng)?shù)剜]局特地制作了紀(jì)念郵戳"四色足夠"(FOUR COLORS SUFFICE)，加蓋在當(dāng)時的信件上。,拓展了人們對“證明”的理解

64、,由于這是第一次用計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)定理，所以哈肯和阿佩爾的工作，不僅是解決了一個難題，而且從根本上拓展了人們對“證明”的理解，引發(fā)了數(shù)學(xué)家從數(shù)學(xué)及哲學(xué)方面對“證明”的思考。,（四）“韓信點(diǎn)兵”的故事 韓信閱兵時，讓一隊(duì)士兵5人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（1人）；再讓這隊(duì)士兵6人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（5人）；再讓這隊(duì)士兵7人一行排隊(duì)從他面前走過

65、，他記下最后一行士兵的人數(shù)（4人），再讓這隊(duì)士兵11人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（10人）。 韓信就憑這些數(shù)，可以求得這隊(duì)士兵的總?cè)藬?shù)。思考怎樣求出？,（五）哥尼斯堡七橋問題,連通的“點(diǎn)線圖”能夠一筆畫的充要條件：“奇結(jié)點(diǎn)”不多于兩個。,反觀“七橋問題”,94,七、數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)（一）第一次數(shù)學(xué)危機(jī),這一危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì)，危機(jī)來源于：當(dāng)時認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比，但突

66、然發(fā)現(xiàn) 不能表為整數(shù)比。 其實(shí)質(zhì)是： 是無理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，需要添加無理數(shù)。,,,（二）第二次數(shù)學(xué)危機(jī),第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓 “無窮小量”說法的質(zhì)疑引起。,危機(jī)的引發(fā) 牛頓的“無窮小” 牛頓的微

67、積分是一項(xiàng)劃時代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。 微積分的一個來源，是想求運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時速度。在牛頓之前，只能求一段時間內(nèi)的平均速度，無法求某一時刻的瞬時速度。,例如，設(shè)自由落體在時間 下落的距離為 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我們要求物體在 的瞬時速度，先求 。∴

68、 （*）,,,,,,,當(dāng) 變成無窮小時，右端的 也變成無窮小，因而上式右端就可以認(rèn)為是 ，這就是物體在 時的瞬時速度，它是兩個無窮小之比。 牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到責(zé)難。,,,,,貝克萊的發(fā)難 英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓