若干重要不等式的推廣及應用【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】

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文檔簡介

1、　　本科畢業(yè)論文　?。?0 屆）　　若干重要不等式的推廣及應用　　所在學院 　　專業(yè)班級數學與應用數學

2、 　　學生姓名學號 　　指導教師職稱 　　完成日期年月 　　摘要：在數學研究領域里，不等式問題占有廣闊的天地。因此本文綜述

3、了幾類重要不等式的推廣及證明，如Hadmard不等式、Cauchy不等式、Abel不等式、Janous不等式等，同時舉例說明重要不等式在各個方面的具體應用。　　關鍵詞：重要不等式；Hadmard不等式；Cauchy不等式；　　The popularization and application of some important inequations

4、　　Abstract：Inequalities hold vast world in mathematics researches.This paper mainly introduces the basic form and proofs of Cauchy inequality, Hadmard inequality, Abel inequality and Janous inequalit

5、y.Moverover,the the paper also gives a summary of the promotion of these inequalities systematically,while discussing emphatically the specific applications of these important inequations in all aspects. Key words： Impo

6、rtant inequation; Hadmard inequality; Cauchy inequality;　　1 前言1　　2 常用重要不等式的推廣2　　2.1 Hadmard不等式及推廣2　　2.1.1 Hadm

7、ard不等式2　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣3　　2.2 Cauchy不等式及推廣5　　2.2.1 Cauchy不等式5　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣6　　2.3 Abel不等式及推廣8&

8、lt;/p>　　2.3.1 Abel不等式8　　2.3.2 Abel不等式的推廣8　　2.4 Janous不等式及推廣10　　2.4.1 Janous不等式10　　2.4.2 Janous不等式的推廣11

9、　　3 常用重要不等式的應用14　　3.1在代數中的應用14　　3.2 在幾何中的應用15　　3.3 最值極值問題中的應用17　　3.4 不等式之間的相互推導18　　3.5 在概率論中的應用

10、19　　4 總結21　　致謝錯誤!未定義書簽。　　參考文獻22　　1 前言　　眾所周知不等式作為數學的組成部分以及重要的推理工具，

11、被廣泛地應用到數學的各個領域。在分析學中不等式的作用更是不可替代。而其中一些常用不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式更在數學基礎理論的創(chuàng)建、延伸、和應用上起著非凡的作用，這使得不等式的研究成了當前數學研究的一個熱點。　　近年來這些重要不等式一直受到廣泛的關注，不少學者對他們進行了較深入的研究與推廣。本文主要是綜合歸納相關的研究成果，如Hadmard

12、不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式的基本形式和相關證明，并對以上四個重要不等式的推廣做了較系統(tǒng)綜述，并舉例說明了它們在各方面的具體應用。　　在數學領域中靈活運用不等式可以使一些較為復雜的問題迎刃而解，一套數學理論最終甚至可以歸結為一個不同尋常的不等式。但是在部分情況下不等式還存在一定的局限性，因此探討重要不等式能夠在哪些情況下發(fā)揮作用，是否能夠得到進一步的推廣等問題就

13、顯得非常有必要。　　大量的學者對于不等式的研究已經趨于完善，但是仍舊缺少系統(tǒng)性地歸納和梳理。本文希望通過對現有研究進行總結與歸納，強化不等式作為數學領域的一個組成部分和一項推理工具的作用，以期更快捷有效地解決部分數學問題，并為今后相關的生活、工作、學習提供一定的參考價值。　　2 常用重要不等式的推廣　　重要不等

14、式是指在數學的計算與證明問題中常見的不等式。包括排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、冥平均不等式、權方和不等式、Cauchy不等式、切比雪夫不等式和琴生不等式等等。　　鑒于不等式在科學研究中的重要地位，眾多學者對重要不等式繼續(xù)進行研究，獲得了一些更好的結果。　　2.1 Hadmard不等式及推廣　　2.1.

15、1 Hadmard不等式　　定理2.1：設是是的連續(xù)凸函數，則對每一對有：　　證明：因為是開區(qū)間上的連續(xù)凸函數，所以是連續(xù)的，因此可積。因為不僅是的中點，同時也是和的中點，其中利用為連續(xù)凸函數，則就有不等式　　上式兩邊對從到積分，經計算后就可以得到：　　另一方面由于是連續(xù)

16、凸函數又可以得到：　　證畢。 　　Hadmard不等式（1.1）在不等式理論中占有重要地位，它不僅用來為證明其他不等式提供理論依據，還在其他問題的求解中有著廣泛的應用，例如求最值問題和求范圍問題等　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣 &l

17、t;p>　　引理1：設是中點凸函數，即　　，　　記　　，　　則有，其中。

18、　　引理2：設為連續(xù)凸函數，　　如果那么　　如果為上的遞增（減）函數，且，那么成立。　　引理3：設為連續(xù)凸函數，且　　記　　。</

19、b>　　如果，那么　　如果在遞增（減），且，那么也成立。　　引理4：設為連續(xù)函數，則有　　，　　其中函數滿足：

20、　　定理2.2：設是連續(xù)凸函數，函數滿足　　記　　則有　　。 　　由于&

21、lt;p>　　所以式是式的又一推廣。　　證明：在引理3中令再由引理4知不等式則變?yōu)椴坏仁剑C畢。　　2.2 Cauchy不等式及推廣 　　Cauchy是法國數學家，1789年8月21日出生于巴黎，他對數論、代數、數學分析和微分方程等多個數學領域進行了深入的研究，并獲得了許多重要成果，著名的Cauchy不等

22、式就是其中之一。　　Cauchy不等式是著名的不等式之一，且不失為一個十分完善的重要不等式。它不僅是數學分析的重要工具，還與物理學中的矢量、高等數學中的內積空間和賦范空間有著密切的聯系。在以上相關解題過程中，適當、巧妙地引入Cauchy不等式，可以簡化解題過程，起到事半功倍的效果。　　2.2.1 Cauchy不等式<p&g

23、t;　　定理2.3：若是任何實數，　　則有 　　(當且僅當時，等號成立)　　證明：（數學歸納法）　　當時，等號顯然成立。　　假設當時，結論成立，即有：<

24、;b>　　則當時，　　證畢。　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣　　指數形式　　引理5：設為不小于2的自然數，則對于和有， <p&g

25、t;　　，　　等號成立的充要條件是，下面的成立；　　使　　若對每個至少有一個時，則，　　（為與無關的正值常數），且對于，恒有　　或<

26、;/b>　　引理6：設為不小于2的自然數，對于和有　　等號成立的充要條件是，下面的成立；　　時，同引理5；　　時，且對　　恒有&l

27、t;/b>　　或　　在引理5，6中令分別可以得到：　　定理2.4：設為不小于2的自然數，則對有　　。 　　定理2

28、.5：設對有　　積分形式　　引理7: 設為不小于2的自然數，對區(qū)間上的任意可積函數　　和有：　　引理7中若或，則分別可以得到：　　定理

29、2.6: 設為不小于2的自然數，對上的任意可積函數有：　　定理2.7: 設為不小于2的自然數，對上的任意可積函數有：　　Cauchy不等式作為數學不等式中一個基礎而且重要的不等式，在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，對解題時起了舉足輕重的作用。它將數列中各項積的和與和的積巧妙的結合在一起，使得許多問題得到了簡化。</p&g

30、t;　　2.3 Abel不等式及推廣　　2.3.1 Abel不等式　　定理2.8: 設則　　等號當且僅當時成立。　　此不等式為著名的Abel不等式，它有著廣泛的應用，它在雙曲幾何中的地位如同Cauchy不等式

31、在歐氏幾何的地位一樣重要。　　2.3.2 Abel不等式的推廣　　引理8：設則　　等號當且僅當時成立。　　引理9：設，　　則</

32、b>　　等號當且僅當且時成立。　　定理2.9：設則　　等號當且僅當在且時成立。　　證明：因為為此　　令<

33、;/p>　　根據題設條件及引理9，有　　所以　　從而因此。　　因為。　　運用引理9，得<

34、;/p>　　，　　即 　　，　　注意到　　以之帶入上面不等式，得

35、　　所以　　于是　　因為　　所以　　，&

36、lt;p>　　于是　　，　　因為　　，　　所以<

37、;p>　　。　　從證明過程知，上不等式中等號當且僅當　　且　　時成立。　　在定理中令便可得到Abel不等式，可見Abel不等式是該定理的一個特殊形式。&

38、lt;/p>　　2.4 Janous不等式及推廣　　2.4.1 Janous不等式　　奧地利數學家W.Janous在1986年曾建立了下述幾何不等式：　　定理2.10: 設的邊BC，CA，AB與面積分別為a,b,c,,記任意一點P到頂點A，B，C的距離,分別為,則 </p&g

39、t;　　。 　　等號僅當為正三角形且P為其中心時成立。　　2.4.2 Janous不等式的推廣　　引理10：設與的面積分別為，則對任意一點P有　　，<p&g

40、t;　　等號當且僅當與為相似的銳角三角形，且P為的垂心時成立。　　引理11：設的三邊與外接圓半徑、內切圓半徑分別為　　則對任意實數有　　等號僅當時成立。　　定理2.11：設與的面積分別為。又P為任

41、意一點，Q為內　　部任一點，Q到的距離分別為則　　， 　　等號當且僅當，均為正三角形且P與Q分別為它們的中心時成立。　?。ㄗⅲ涸摬坏仁皆谛问缴戏浅?yōu)美，從已有的文獻來看，類似的涉及兩個三角形與兩個動點的三角形幾何不等式是十分罕見的。）<

42、;/p>　　證明：顯然以為邊長可構成一個三角形，記其面積為　　由Heron公式：　　，　?。ㄆ渲袨榈陌胫荛L）易得　　根據引理10有

43、　　。　　接下來證明：　　為此，又先來證有關與任意正數的加權不等式：　　按引理11知，欲證上式只要證：　　兩邊乘以并利用，即知上式等價于

44、;　　由顯然的不等式及已知的不等式：　　即知前式成立，從而不等式得證。　　將不等式中的換成即知，對與任意的正數有　　在上式中取利用　　就可得不等式&l

45、t;p>　　，　　再根據不等式　　和　　，　　可知&

46、lt;p>　　，　　這顯然等價于定理的結論，證畢。　　3 常用重要不等式的應用　　自古以來，物理量之間大小的比較為現實世界之必須，這導致了數學不等式的產生和發(fā)展。迄今，不等式的重要應用已貫穿于當代科學技術和工程領域的多個學科分支。<p&g

47、t;　　3.1在代數中的應用　　例1：已知正數滿足證明　　證明：由Cauchy不等式及得　　又因為在此不等式兩邊同乘以2，再加上得從而可得　　故　　例2：已知,且，求證：

48、　　證明：　　由權方和不等式：當或，有　　。　　當且僅當時取得等號。　　可得：

49、;　　左　　而　　故　　等號在取得。　　3.2 在幾何中的應用　　1.推導空間點到平面的距離和

50、點到直線的距離公式　　已知點及平面：設為平面上的一點，則，，　　由Cauchy不等式　　當且僅當時等號成立　　即有：　　也就是</

51、b>　　，　　所以點到平面的距離公式為：　　同樣的辦法可推導出點到直線的距離公式為：　　。　　2．由Janous不等式及其推廣可以得到以下幾個漂亮而

52、又簡潔的猜想。　　1）猜想1：對與任意一點有：　　2）猜想2：對內部任意一點有：　　，　　其中分別為的角平分線。　　注：雖然上面的2個猜想尚未得到有效的證明，但我相信在不久的將來，學者們對于J

53、anous不等式的進一步研究和推廣，一定會得到它們的證明。到那個時候Janous不等式在三角形中的作用將會更加的明顯。　　3．已知為三角形三邊長，求證：。　　證明：換元：令則不等式　　由權方不等式可得　　故原不等式成立且在即時取得等號

54、。　　3.3 最值極值問題中的應用　　例3：設求的最小值。　　解：由Cauchy不等式，可得　　例4：已知且，求的最小值。　　證明：由權方和不等式得　　，故&

55、lt;/b>　　當且僅當，即時取得最小值。　　例5：證明：存在極小值。　　證明：因為　　，　　求二階偏導數，得

56、　　因為 　　由Cauchy不等式知，　　所以　　，　　又因為</p&

57、gt;　　所以有極小值。　　3.4 不等式之間的相互推導　　1.利用Abel不等式推導Popoviciu不等式。　　在定理2.8中令，可得到下面的一個推論。　　推論：設<

58、;/p>　　則　　成立；　　將代入上面的推論，整理可得到　　即Popoviciu不等式。　　2．利用Young不等式推導其他不等式。<p&

59、gt;　　Young不等式：設且滿足，則。　　應用帶的Young不等式知，兩邊在上積分并取　　，則馬上得到Holder不等式。　　3.5 在概率論中的應用　　1.在概率論中，線性回歸有樣本相關系數，并指出且不等式解釋樣本線性相關系數。<p&

60、gt;　　現記，則　　由Cauchy不等式有，　　當時，　　此時，為常數，點均在直線　　上，

61、當時， 　　即 　　而 　　為常數。　　此時，為常數，點均在直線附近，所以　　越接近于1，相關程度越大。<

62、/p>　　4 總結　　作為數學的一個重要分支，不等式有著悠久的發(fā)展歷史和極其豐富的內容。由其悠久的發(fā)展歷史可以發(fā)現數學不等式理論充滿蓬勃生機，而且已得到突飛猛進的發(fā)展。作為一種基本的工具，不等式在數學學科與其它科學技術領域都有廣泛的應用。　　Hadarmard不等式、Cauchy不等

63、式、Abel不等式以及Janous不等式都是非常重要的不等式，并廣泛應用于在數學分析，對促進現代數學的發(fā)展起到了非常重要的作用。本文主要介紹了它們的基本形式、推廣形式以及應用。經過本次論文的寫作，作者從各個方面加深了對不等式的了解，也深刻體會到它們的魅力性。這些不等式在形式、證明和應用上，都體現了代數與分析、概率與分析、高等數學與初等數學之間相互滲透，相互促進的內在聯系。正如希爾波特所說：“數學是一有機整體，它的生命力依賴于各部分的聯系

64、?！背酥?，通過這次協(xié)作，本人也增強了自主探究數學問題的能力，掌握了研究數學問題的立足點和基本思想方法。如掌握研究數學問題或實際問題的方法是：發(fā)現問題——猜測結論——分析論證——推廣結論——應用結果。又如利用類比歸納的方法掌握對數學問題進行多層次全方位的推廣研究，向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推用的廣方法的聯合使再推廣。　　在數學分析、調和函數、分析函數和偏微

65、方程等學科中上述不等式的身影處處可見，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識工具。本文的目的就是通過對若干重要不等式的推廣及應用相關內容的整理歸納，使人們能夠更加清楚的認識到它們的作用。　　參考文獻　　[1] Mitrinovic D S, Lackovic I B. Hermite and convexity[J].Ae

66、quat Math, 1985　　[2] 文家金，關于可微函數的一個不等式鏈[J]，成都大學學報， 1993　　[3] 楊鎮(zhèn)杭，指數平均與對數平均[J] ，數學的時間與認識， 1987　　[4] 丁勇，兩類平均極其應用[J] ，數學的實踐與認識，1995　　[5]

67、黃麗芳，Cauchy不等式的3種變式及其應用，寧德師專學報，2003　　[6] 張良云，Cauchy不等式的不同形式及證明，高等數學研究，2007　　[7] 李文榮，徐本順，凸函數-不等式-平均值[M]，遼寧教育出版社，1990　　[8] 王向東，蘇化明，王方漢，不等式、理論、方法，河南教育出版社，1994<

68、;/p>　　[9] 吳善和，Abel不等式的一個推廣和應用，龍巖師專學報，2003　　[10] 劉健，雙圓n邊形的雙圓半徑不等式[J]。湖南數學通訊，1988　　[11] 褚小光，關于三角形一東點的若干不等式[J]，濱州師專學報，2001　　[12] 0.Bottema等，單尊譯

69、，幾何不等式，北京大學出版社，1991　　[13] 匡繼昌，常用不等式（M）長沙教育出版社， 1993　　[14] D.S.mitrinovic, P.E.Pecaric andV.Volenec ,in Inequalities[M],1989　　[15] 鞠建恩.Cauchy不等式在初等數學中的應用[

70、J].南平師專學報，2002,21(2):35-38.　　[16] 竺歡樂.用Cauchy不等式解釋樣本線性相關系數[J].數學通訊.2004,(7):11-12 　　文獻綜述　　若干重要不等式的推廣及應用　　　　前

71、言部分　　眾所周知，不等式作為數學本身的一個組成部分以及一種重要的推理工具，被廣泛地應用到數學的各個領域，尤其在分析學中，如偏微分方程、Sobolev空間等學科進行估值時，不等式的作用更是不可替代。不等式存在于數理科學的方方面面，無處不在。而其中一些不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式更在數學的理論基礎理論的創(chuàng)建、延伸、和應用上起著非凡的作用，這使

72、得不等式的研究成了當前數學研究的一個熱點。　　在數學領域里，不等式知識占有廣闊的天地，而一個個的重要不等式又把這片天地裝點得更加豐富多彩。通過大量文獻，我們可以歸納以下幾個重要不等式。　　1．著名的Hadamard不等式可表述為：　　是連續(xù)凸函數，則&

73、lt;p>　　。　　2． Abel不等式：　　設則　　等號當且僅當時成立。　　3．Janous不等式：　　設的邊BC，CA，AB，與面積分別為a,b

74、,c,,記任意一點P到頂點　　A，B，C的距離,分別為,則　　等號僅當為正三角形且P為其中心時成立。　　從大量文獻中我們可以發(fā)現這些重要不等式幾乎滲透到數學的各個領域而且處處扮演著精彩的角色，原因在于他們不僅能深刻地描述許多數學量之間的內在本質關系，得到所需要的結論，還能把許多已有的從不同方法得來的不等式用一種統(tǒng)

75、一的方法簡便地推導出來，它們也是推廣已有的不等式，發(fā)現新的不等式的一種強有力的工具，在其他各種應用性較強的學科或領域中的應用，更加顯示了它迷人的魅力。我們無法想象沒有Hadamard不等式、Abel不等式、Janous不等式以及其他一些不等式的數學將會是什么狀況。　　在數學領域里，不等式知識占有廣闊的天地，靈活應用這些不等式，可以使一些較為復雜的問題迎刃而解，一套數學理論甚至往往最終歸結為一個不

76、同尋常的不等式，但是在不同的場合，不同的問題上我們會發(fā)現這些不等式還存在一定的局限性，因此我們需要探討這些重要不等式還可以在哪些場合發(fā)揮他們的重要作用，是否還可以進一步的推廣。　　主題部分　　眾所周知，不等式理論在數學理論中占有重要地位，它滲透到數學的各個領域，因此有必要對不等式理論的發(fā)展歷史有一個清晰的認識。<

77、;/p>　　數學不等式的研究首先從歐洲國家興起，東歐國家有一個較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國家。目前，對不等式理論感興趣的數學工作者邊部世界各個國家。　　在數學不等式理論發(fā)展史上有兩個具有分水嶺意義的時間，分別是Chebycheff在1882年發(fā)表的論文和1928年Hardy任倫敦數學會主席屆滿時的演講。Hardy，Littlewood和Play的著作Inequa

78、lities的前言中對不等式的哲學給出了有見地的見解；一般來講初等的不等式應該有初等的證明，證明應該是“內在”的，而且應該給出等號成立的證明。A.M.Fink認為，人們應該盡量陳述和證明不能推廣的不等式。Hardy認為，基本的不等式是初等的。自從著名數學家G.H.Hardy，J.E.Littlewood和G.Plya的著作Inequalities于1934年出版以來，數學不等式理論極其應用的研究正式粉墨登場，成為一門新興數學學科，從此不

79、等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合，它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學理論。　　20世紀70年代以來，國際上每四年在德國召開一次一般不等式國家學術會議，并出版專門的會議論文集。不等式理論也是2000年在意大利召開的第三界世界非線性分析學家大會的主題之一。2000年和2001年在韓國召開的第6屆和第7屆非線性泛涵分析和應用國際會議與2000年在我國大連理工大學召開的ISAAC都將數學不等式作為主要的

80、議題安排在會議日程之中。　　20世紀80年代以來在中國大地上出現了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。20世紀80年代楊路等教授對幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮，在代數不等式方面，王挽讕教授對Fanky不等式的深入研究達到國際領先水平。祁鋒教授極其領導的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在《中國科學》

81、上的論文《一個不等式極其若干應用》，針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數學評論稱之為“一個杰出的非凡的新的不等式”，現在稱之為胡克不等式，胡克教授對這個不等式極其應用作出了系統(tǒng)而深刻的研究。　　歷史上，華人數學家在不等式領域作出過重要貢獻，包括華羅庚，林東坡，徐利治、王忠烈、王興華等老一代數學家。最近幾年我國有許多數學工作者始終活躍在國際數學不等式理論極其應用的領域，他們在

82、相關方面做出了獨特的貢獻，引起國內外同行的注意和重視。例如：王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、楊國勝教授等。　　目前國內關于數學不等式理論極其應用的研究也有較豐富的成果。例如匡繼昌的專著《常用不等式》一書由于供不應求，在短短的幾年內已經出版了第2版，重印過多次。對于數學專著來講，這是少有的現象。第二本較有影響的專著是王松桂和賈忠貞合著的《矩陣論中不等式》。另外，國內還有一個不等式研究小組比較活

83、躍，主辦一個《不等式研究通訊的內部交流刊物。　　在眾多的科研問題中，我們常常需要進行估值計算。估值的精度直接影響到我們研究結果的成敗。不等式是我們進行估值的重要工具，因此要求在熟悉若干重要不等式的基礎上，研究這些不等式可否進一步推廣，這些工作對于我們來說是困難的，可喜的是從大量文獻中我們可以得到這幾個重要的不等式的推廣和應用。　　Hadarmard不等式

84、的推廣和應用　　（1）推廣：　　1.1定理：設是連續(xù)凸函數，函數　　滿足　　記則有　　1.2定理:設在上連續(xù)，則&l

85、t;/p>　　1.3定理：設，　　則有　?。?）應用　　1.4 推論：設是中點凸函數，即　　記，<

86、/b>　　則有 　　1.5推論：設為兩個正實數的重階Stolarsky平均,則當時，　　成立，　　當時，取等號成立；當時，不等號反向成立。　　注：當

87、時又可以得到關于所滿足的不等式鏈以及是數學中極其重要的幾種平均，且它們有著廣泛的實際意義，因此通過Hadamard不等式來推廣這些平均是很有意義的課題。　　Abel不等式的推廣和應用　　(1) 推廣　　2.1定理：設則

88、;　　，等號當且僅當在　　且時成立。　　2.2 引理: 設則　　等號當且僅當時成立。　　2.3定理：設<

89、p>　　，則不等式　　(2)應用 　　2.4推論:在定理2.1中，令便可得到Abel不等式；特別地，在定理中令即可得到著名的Popoviciu不等式的推廣形式。　　2.5推論：設則</p&

90、gt;　　成立；　　在上述不等式中，令便可得到Popoviciu不等式。　　Janous不等式的推廣和應用　　推廣　　3.1定理 : 設與的面積分別為。又P為任意一點，Q為內

91、部任一點，Q到的距離分別為則　　，等號當且僅當，　　均為正三角形且P與Q分別為它們的中心時成立。　　3.2引理 :設與的面積分別為，則對任意一點P有　　，等號當且僅當與為相似的銳角三角形，且P為的垂心時成立。&

92、lt;p>　　3.3 不等式加強： 　　，其中為相應邊上的中線。　　應用　　3.4推論：設的邊分別為其符號同上，則對任　　意一點P有　　特別地，

93、令為正三角形，則又可得　　3.5推論：對與任一點有　　從文獻和學者的工作中我們可以發(fā)現，今后不等式的研究，可以從以下4個方面考慮：　　1)推廣和改進現有的不等式；2)建立新的不等式；3)擴大不等式的應用范圍，4)探索不等式的證明方法。研究的領域可以總結為:1)如何用不等式去刻劃各種函數空間，2)在函數論，<

94、/p>　　特別是函數逼近論中，有正定理，即從函數F的構造性質去推斷最佳逼近收斂速度，以及逆定理，3)在概率中許多定律是通過不等式陳述的，因此概率統(tǒng)計中的不等式的研究一直是人們關注的熱點之一，4)用不等式估計各種問題近似解的誤差，5)幾何學中的不等式，應該特別關注凸體理論和等周不等式，6)線性規(guī)劃（運輸調配、生產安排、產品用料配方、經濟計劃等）歸結為一個線性函數。　　要

95、追尋一個眾所周知的不等式的起源常常是很困難的，很可能它是在一篇關于幾何學或天文學方面的論文作為一個輔助命題（通常缺乏明確的論證）首先出現的。過了若干年之后，它或許又被許多其他作者重新發(fā)現，但可能始終缺乏容易理解且十分完善的敘述。我們總會發(fā)現，即使對于那些最著名的不等式，也還是可以添加一些新的內容。就象上述的一些不等式的推廣和應用，反映了這些數學家孜孜不倦的辛勞和他們的用心，他們的注意力不只限于他們當時所考慮的問題。從普遍性和完整性的角度

96、，使得他們對這些不等式進行不懈的思考，終于完成推廣、擴大其應用范圍，使之臻于完善，在我們看來這的確是一項艱難的工作。著名分析學家Michiel Hazewinkel在他的書中寫到：“有時我有這樣的感覺，數學（特別是分析學）就是不等式”。不等式理論在未來的作用可見一斑。目前，對不等式理論感興趣的數學工作者遍布世界各個國家，而不等式的作用越來越明顯，相信對于這些不等式的研究將會繼續(xù)持續(xù)下去。<

97、b>　　三、總結部分　　作為數學的一個重要分支，不等式有著悠久的發(fā)展歷史和極其豐富的內容。由其悠久的發(fā)展歷史可以發(fā)現數學不等式理論充滿蓬勃生機、興旺發(fā)達，而且已得到突飛猛進的發(fā)展。作為一種基本的工具，不等式在數學學科與其它科學技術領域都有廣泛的應用。　　Hadarmard不等式、Abel不等式以及Janous不等式都是非常重要的

98、不等式，在數學分析中有著廣泛的應用，對于促進現代數學的發(fā)展起到了非常重要的作用，本文主要介紹了它們的基本形式、推廣形式以及幾個常見應用。　　在數學分析、調和函數、分析函數和偏微方程等學科中上述不等式的身影處處可見，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識工具。本文的目的就是通過對這3個不等式的推廣及應用相關內容的整理歸納，使人們能夠更加清楚的認識到它們的作用。

99、　最后通過文獻了解到不等式的研究前景和范圍是極其廣泛的，由此了解重要不等式的研究前景是十分廣闊的。　　四、參考文獻（根據文中參閱和引用的先后次序按序編排）、　　[1] Mitrinovic D S, Lackovic I B. Hermite and convexity[J].Aequat Math, 1985

100、　[2] 匡繼昌，常用不等式（M）長沙教育出版社， 1993　　[3] D.S.mitrinovic, P.E.Pecaric andV.Volenec ,in Inequalities[M],1989　　[4] GAO Ming-Zhe, WEI Shang-rong, On the Hilbert Inequality with Weight

101、s[J].Zeitschrift fur Analysis Und ihre Anwendungen,2002　　[5] 田琳，黃常春，李海龍，樂山師范學院學報第22卷12期，2007　　[6] 文家金，關于可微函數的一個不等式鏈[J]，成都大學學報， 1993　　[7] 楊鎮(zhèn)杭，指數平均與對數平均[J] ，

102、數學的時間與認識， 1987　　[8] 丁勇，兩類平均極其應用[J] ，數學的實踐與認識，1995　　[9] 孫明保，關于凸函數的雙參數平均不等式[J]，數學的實踐與認識，1997　　[10]李文榮，徐本順，凸函數-不等式-平均值[M]，遼寧教育出版社，1990

103、[11]王向東，蘇化明，王方漢，不等式、理論、方法，河南教育出版社，1994　　[12]吳善和，Abel不等式的一個推廣和應用，龍巖師專學報，2003　　[13]劉健，雙圓n邊形的雙圓半徑不等式[J]。湖南數學通訊，1988　　[14]褚小光，關于三角形一東點的若干不等式[J]，濱州師專學報，2001<

104、;/p>　　[15]0.Bottema等，單尊譯，幾何不等式，北京大學出版社，1991　　[16] 匡繼昌，一般不等式研究在中國的新進展，自然科學報，2005　　開題報告　　數理與信息工程學院

105、;　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內外研究現狀和發(fā)展趨勢）　　數學不等式的研究首先從歐洲國家興起，東歐國家有一個較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國家。目前，對不等式理論感興趣的數學工作者遍部世界各個國家。　　20世紀70年代以來，國際上每四年在德國召開一次一般不等式國家學術會議，并出版專門的會議論文集。不等式理論也是

106、2000年在意大利召開的第三界世界非線性分析學家大會的主題之一。2000年和2001年在韓國召開的第6屆和第7屆非線性泛涵分析和應用國際會議與2000年在我國大連理工大學召開的ISAAC都將數學不等式作為主要的議題安排在會議日程之中。　　20世紀80年代以來在中國大地上出現了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。20世紀80年代楊路等教授對幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮，在

107、代數不等式方面，王挽讕教授對Fanky不等式的深入研究達到國際領先水平。祁鋒教授極其領導的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在《中國科學》上的論文《一個不等式極其若干應用》，針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數學評論稱之為“一個杰出的非凡的新的不等式”，現在稱之為胡克不等式，胡克教授對這個不等式極其應用作出了系統(tǒng)而深刻的研究。

108、;　　歷史上，華人數學家在不等式領域作出過重要貢獻，包括華羅庚，林東坡，徐利治、王忠烈、王興華等老一代數學家。最近幾年我國有許多數學工作者始終活躍在國際數學不等式理論極其應用的領域，他們在相關方面做出了獨特的貢獻，引起國內外同行的注意和重視。例如：王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、楊國勝教授等。　　目前國內關于數學不等式理論極其應用的研究也有較豐富的成果。例如匡繼昌的專著

109、《常用不等式》一書由于供不應求，在短短的幾年內已經出版了第2版，重印過多次。對于數學專著來講，這是少有的現象。第二本較有影響的專著是王松桂和賈忠貞合著的《矩陣論中不等式》。另外，國內還有一個不等式研究小組比較活躍，主辦一個《不等式研究通訊的內部交流刊物。　　從文獻和學者的工作中我們可以發(fā)現，今后不等式的研究，可以從以下4個方面考慮：　　1)推廣和改進現有

110、的不等式；2)建立新的不等式；3)擴大不等式的應用范圍，4)探索不等式的證明方法。研究的領域可以總結為:1)如何用不等式去刻劃各種函數空間，2)在函數論，　　特別是函數逼近論中，有正定理，即從函數F的構造性質去推斷最佳逼近收斂速度，以及逆定理，3)在概率中許多定律是通過不等式陳述的，因此概率統(tǒng)計中的不等式的研究一直是人們關注的熱點之一，4)用不等式估計各種問題近似解的誤差，5)幾何學中的不等式，

111、應該特別關注凸體理論和等周不等式，6)線性規(guī)劃（運輸調配、生產安排、產品用料配方、經濟計劃等）歸結為一個線性函數。　　二、研究的基本內容與擬解決的主要問題　　在數學領域里，不等式知識占有廣闊的天地，而一個個的重要不等式又把這片天地裝點得更加豐富多彩。而其中一些不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式以及其他不等式更是在數學的理論基

112、礎理論的創(chuàng)建、延伸、和應用上起著非凡的作用，這使得不等式的研究成了當前數學研究的一個熱點。　　1．著名的Hadamard不等式可表述為：　　是連續(xù)凸函數，則　　。　　2． Abel不等式：<

113、/p>　　設則　　等號當且僅當時成立。　　3．Janous不等式：　　設的邊BC，CA，AB，與面積分別為a,b,c,,記任意一點P到頂點　　A，B，C的距離,分別為,則<p

114、>　　等號僅當為正三角形且P為其中心時成立。　　靈活應用這些不等式，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，一套數學理論甚至往往最終歸結為一個不同尋常的不等式，但是在不同的場合，不同的問題上我們會發(fā)現這些不等式還存在一定的局限性，由此我們需要探討這些重要不等式還可以在哪些場合發(fā)揮他們的重要作用，是否還可以進一步的推廣。因此我的論文工作著重于Abel、Hadmard、Janous等一些重要不等式的

115、歸納總結；分別討論這些不等式的推廣形式以及論述這些不等式及其推廣形式的應用。　　三、研究的方法與技術路線、研究難點，預期達到的目標　　通過大量的文獻了解到不等式的研究前景和范圍是極其廣泛的。今后不等式的研究，可以從以下4個方面考慮：1)推廣和改進現有的不等式；2)建立新的不等式；3)擴大不等式的應用范圍，4)探索不等式的證明方法。本論文的目的就是若干重要

116、不等式的推廣和應用，以達到對不等式有更好的了解。參考一些文獻和質資料，通過自己對資料的學習及理解，在此基礎上，將別人的努力和自己的努力結合起來，相信會得到一些有用的結論。　　研究的難點在于，不等式知識多且煩瑣，本身對于不等式的了解有限，因而在摸索過程中可能會遇到很多沒學習到的知識，自身獨立研究這些不等式的推廣和應用難度很大，在這方面只有通過自己多看書，多找質料，多和指導老師討論來解決。諸多文獻中

117、這些不等式的推廣和應用較多，但是雜且亂，將他們的成果進行整理和歸納也是一項不易的工作。　　大量的學者對于不等式的研究已經趨于完美，本論文的目的就是在前人工作的前提之下，對他們的工作進行總結與歸納，以更好的解決一些數學上的問題，例如運用不等式我們可以進行估值，求最優(yōu)解等等。重要不等式可以幫助我們就解決很多的問題，因此想對這些不等式做進一步的認識，希望可以在以后的生活、工作、學習中會有幫助。<

118、/p>　　四、論文詳細工作進度和安排　　2011-02-21至2011-03-20 完成初稿；2011-03-21至2011-04-20 在導師的指導下完成第一次修改；2011-04-21至2011-05-20 在導師的指導下完成第二次修改并定稿；2011-05-21至2011-05-23 準備論文答辯。五、主要參考文獻：<

119、;p>　?。ㄋ谐龅膮⒖嘉墨I原則上不少于10篇，并應有不少于2篇的外文文獻）　　參考文獻格式： 　　[1] 胡克，解析不等式的若干問題[M]，武漢大學出版社，2003　　[2] 匡繼昌，常用不等式（M）長沙教育出版社， 1993<p

120、>　　[3] D.S.mitrinovic, P.E.Pecaric andV.Volenec ,in Inequalities[M],1989　　[4] GAO Ming-Zhe, WEI Shang-rong, On the Hilbert Inequality with Weights[J].Zeitschrift fur Analysis Und ihre Anwendungen,

121、2002　　[5] 田琳，黃常春，李海龍，樂山師范學院學報第22卷12期，2007　　[6] 文家金，關于可微函數的一個不等式鏈[J]，成都大學學報， 1993　　[7] 楊鎮(zhèn)杭，指數平均與對數平均[J] ，數學的時間與認識， 1987　　[8] 丁勇，兩類平均

122、極其應用[J] ，數學的實踐與認識，1995　　[9] 孫明保，關于凸函數的雙參數平均不等式[J]，數學的實踐與認識，1997　　[10]李文榮，徐本順，凸函數-不等式-平均值[M]，遼寧教育出版社，1990　　[11]王向東，蘇化明，王方漢，不等式、理論、方法，河南教育出版社，1994&

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