級(jí)數(shù)斂散性判定方法的研究[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　級(jí)數(shù)斂散性判定方法的研究</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：級(jí)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具，并且在其他學(xué)

3、科以及生活中的應(yīng)用也很廣泛，但是對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判定較難.因此本文的重點(diǎn)是綜述級(jí)數(shù)斂散性的判定方法，主要有Kummer判別法，奇偶項(xiàng)判別法，階估計(jì)判別法等。</p><p>　　關(guān)鍵詞：級(jí)數(shù)；斂散性；判定法</p><p>　　The Study on the Judgment of Convergence </p><p>　　and Divergence

4、of Series</p><p>　　Abstract: Series is used for researching the functions’ properties, and is good for number calculation, and series is widely used in other disciplines and our life. Whereas, it’s difficult

5、 to judge the convergence and divergence of series, so, this article focus on the summarizing the judgments of the convergence and divergence of series. Mainly has the Kummer Judgment, the Parity Judgment, the Oder Estim

6、ates Judgment, and so on.</p><p>　　Key words: Series; Convergence; Judgment</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引 言1</b></p><p>　　2 級(jí)數(shù)的概念及相關(guān)性

7、質(zhì)1</p><p>　　3 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法及其應(yīng)用3</p><p>　　3.1 P級(jí)數(shù)判別法3</p><p>　　3.2 Kummer判別法5</p><p>　　3.3 一類正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判斷的推廣7</p><p>　　3.4 奇偶項(xiàng)判別法8</p><p>

8、;　　3.5 優(yōu)拉高判別法11</p><p>　　3.6 達(dá)朗貝爾、拉貝、對(duì)數(shù)、比值判別法的推廣14</p><p>　　3.7 階估計(jì)判別法18</p><p>　　3.8 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法20</p><p>　　3.9 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別的一些技巧22</p><p>　　3.9.1

9、 利用不等式法22</p><p>　　3.9.2 利用泰勒展式法22</p><p>　　3.9.3 拆項(xiàng)法23</p><p>　　4 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法23</p><p>　　致 謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)25</b></p

10、><p><b>　　1 引 言</b></p><p>　　級(jí)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具，并且在其他學(xué)科以及生活中的應(yīng)用也很廣泛，但是對(duì)于級(jí)數(shù)的斂散性的判定較難.因此本文重點(diǎn)對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性進(jìn)行討論.</p><p>　　人們很早以前其實(shí)就已經(jīng)接觸到無(wú)窮級(jí)數(shù)了.在中國(guó)古代的《莊子??天下》中所說(shuō)的“莊子切棒”問(wèn)題：“一尺之錘，

11、日取一半，萬(wàn)世不竭”中所含有的極限思想，用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)就是無(wú)窮級(jí)數(shù).雖然在古希臘的數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了無(wú)窮級(jí)數(shù)，但是由于希臘人懼怕無(wú)窮，因此總是用有限和代替無(wú)窮和，近代數(shù)學(xué)正是在突破這種禁忌的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.芝諾(Zeno of Elea)的二分法涉及了把1分解成無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式.亞里士多德(Aristotle)也認(rèn)為這種無(wú)窮級(jí)數(shù)的和存在，因?yàn)檫@是公比小于1的幾何級(jí)數(shù).阿基米德(Archimedes)在他的《拋物線圖形求積法》一書中，用幾何

12、級(jí)數(shù)求出了拋物線的弓形面積.在十五、十六世紀(jì)，對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的研究以休賽特和奧雷姆的方式進(jìn)行，即認(rèn)為幾何級(jí)數(shù)有兩種可能性，當(dāng)公比大于1時(shí)，無(wú)窮幾何級(jí)數(shù)的和是無(wú)窮；當(dāng)公比小于1時(shí)，無(wú)窮級(jí)數(shù)的和是有限的.但是由于局限于文字?jǐn)⑹龊蛶缀畏椒ǎ虼藳](méi)取得重大進(jìn)展.盡管如此，中世紀(jì)的這種承認(rèn)無(wú)限的思潮仍舊為十七世紀(jì)關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)與無(wú)限過(guò)程的重要工作開(kāi)辟了道路.</p><p>　　2 級(jí)數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)</p>

13、<p>　　定義1 給定一個(gè)數(shù)列，對(duì)它的各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式</p><p>　　稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無(wú)窮級(jí)數(shù)（也常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)），其中，稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng).</p><p>　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也通常寫作：，或簡(jiǎn)單寫作.</p><p>　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和，記為</p><p>　　定義2 給定一個(gè)定義在數(shù)集上的函數(shù)列，表達(dá)式<

14、;/p><p>　　稱為定義在上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為或.稱</p><p>　　為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列.</p><p>　　定義3 若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，記為</p><p><b>　　或.</b></p><p>　　若發(fā)散，則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是發(fā)

15、散的.</p><p>　　定義4 若，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)</p><p>　　收斂，即當(dāng)時(shí)部分和的極限存在，則稱級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，稱為級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn).若級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散.若級(jí)數(shù)在的某個(gè)子集上每點(diǎn)都收斂，則稱級(jí)數(shù)在上收斂.級(jí)數(shù)在上每一點(diǎn)與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和構(gòu)成一個(gè)定義在上的函數(shù)，稱為級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并寫作</p><p><b>　　即</b>&l

16、t;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　由此可見(jiàn)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性等價(jià)于它的部分和函數(shù)列的收斂性.</p><p>　　性質(zhì)1 設(shè)級(jí)數(shù)與都收斂，且其和分別為與，則</p><p>　?。?），級(jí)數(shù)也收斂，且有</p><p><b>　　；</b><

17、/p><p><b>　?。?）若，則.</b></p><p>　　性質(zhì)2 在一個(gè)級(jí)數(shù)中，任意刪去、添加或改變有限項(xiàng)，該級(jí)數(shù)的斂散性不變.</p><p>　　性質(zhì)3 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則必有.</p><p>　　但是不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件，如調(diào)和級(jí)數(shù).</p><p>　　3 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法

18、及其應(yīng)用</p><p>　　目前，比較為我們所熟悉的判定級(jí)數(shù)斂散性的方法主要有定義法、柯西（Cauchy）法、比較法、比式法、根式法以及利用性質(zhì)來(lái)判定等等，然而，以上各種方法在不同程度上都有著各自的局限性，無(wú)法得到很廣泛的應(yīng)用，為了彌補(bǔ)上述不足，本文通過(guò)查閱各種資料，特整理出了一些比較新的級(jí)數(shù)斂散性的判別法，下面逐一介紹.</p><p>　　3.1 P級(jí)數(shù)判別法</p>

19、<p>　　級(jí)數(shù)判別法是通過(guò)建立正項(xiàng)級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)之間的一種關(guān)系，由級(jí)數(shù)的斂散性來(lái)判斷該正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的方法.</p><p>　　級(jí)數(shù)判別法1 設(shè)為一正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為級(jí)數(shù)，</p><p>　　1.，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　2. ，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　級(jí)數(shù)判別法2 設(shè)為一

20、正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為級(jí)數(shù)，且，則</p><p>　　1.當(dāng)且時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　2.當(dāng)且時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　級(jí)數(shù)判別法3 設(shè)為一正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為級(jí)數(shù)，且，若當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　級(jí)數(shù)判別法4 設(shè)為一正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為級(jí)數(shù)，且，若當(dāng)時(shí)，，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散.</p&g

21、t;<p>　　級(jí)數(shù)判別法5 設(shè)為一正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為級(jí)數(shù)，且，若當(dāng)時(shí)，，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散.</p><p>　　級(jí)數(shù)判別法5實(shí)際是級(jí)數(shù)判別法4的推廣.</p><p>　　利用上述五個(gè)判別法我們可以對(duì)下列級(jí)數(shù)的斂散性進(jìn)行判斷.</p><p>　　例1 試用級(jí)數(shù)判別法來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p><

22、b>　　解：, </b></p><p><b>　　而當(dāng)時(shí)，，且，</b></p><p>　　由級(jí)數(shù)判別法3可知，級(jí)數(shù)是收斂的.</p><p>　　例2 試用級(jí)數(shù)判別法來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　解：法1 為一正項(xiàng)級(jí)數(shù)，</p><p><b>

23、　　，，且，</b></p><p>　　由級(jí)數(shù)判別法2知，級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　法2 為一正項(xiàng)級(jí)數(shù)，</p><p><b>　　， ，</b></p><p>　　由級(jí)數(shù)判別法1知，級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　例3 試用級(jí)數(shù)判別法來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性.</p&

24、gt;<p>　　解：由于，因此，由級(jí)數(shù)判別法5知，原級(jí)數(shù)是發(fā)散的.</p><p>　　3.2 Kummer判別法</p><p>　　我們以已經(jīng)知道比式判別法和根式判別法是對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性進(jìn)行判別的兩種較為常用的方法，但是如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度較某一幾何級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度慢，那么這兩種方法將會(huì)失靈，而Kummer判別法就是為了解決這一難題而產(chǎn)生的.<

25、;/p><p>　　Kummer判別法1 設(shè)，，，且存在某自然數(shù)及常數(shù)，</p><p>　　1.當(dāng)時(shí)，有，級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　2.當(dāng)時(shí)，有，且，則級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　在Kummer判別法1的基礎(chǔ)上可得到Kummer判別法2.</p><p>　　Kummer判別法2 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某自然

26、數(shù)及正數(shù)，</p><p>　　1.當(dāng)時(shí)，成立不等式，則級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　2.當(dāng)時(shí)，成立不等式，則級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　在Kummer判別法2的基礎(chǔ)上可得到下面著名的拉貝（Raabe）判別法.</p><p>　　拉貝（Raabe）判別法 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某自然數(shù)及常數(shù)，</p><p>

27、　　1.當(dāng)時(shí)，成立不等式，則級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　2.當(dāng)時(shí)，成立不等式，則級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　其中，Kummer判別法1雖是比Raabe判別法和比式判別法更廣泛更一般的判別法，但是由于它的過(guò)程是無(wú)限的，因而具有一定的局限性.</p><p>　　例4 用Kummer判別法判斷級(jí)數(shù)在時(shí)的斂散性.</p><p>　　解：

28、若用比式判別法，則對(duì)于，都有，所以無(wú)法用比式判別法來(lái)判別原級(jí)數(shù)的斂散性.下用Raabe判別法.</p><p><b>　　1.當(dāng)時(shí)，，，</b></p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以原級(jí)數(shù)在時(shí)發(fā)散.<

29、/p><p><b>　　2.當(dāng)時(shí)，，，則，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以原級(jí)數(shù)在時(shí)收斂.</p><p>　　3.3 一類正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判斷的推廣</p><p>　　這部分內(nèi)容主要從一類正項(xiàng)級(jí)數(shù)與之間的收斂的關(guān)系出發(fā)，得出一些新的正

30、項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法.</p><p>　　推廣法1 若，則收斂的充要條件為如下級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　推廣法2 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　例5 判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，，</b></p><p><b&g

31、t;　　為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，</b></p><p>　　由推廣法2可知，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　3.4 奇偶項(xiàng)判別法</p><p>　　一般而言，利用傳統(tǒng)的比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法和高斯判別法等來(lái)判斷級(jí)數(shù)和的斂散性都顯得異常困難，由此，下面給出了幾個(gè)新的判別法來(lái)解決這項(xiàng)難題.主要是利用偶數(shù)項(xiàng)、奇數(shù)項(xiàng)與一般項(xiàng)的關(guān)系：</

32、p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　來(lái)實(shí)現(xiàn).</b></p><p>　　奇偶項(xiàng)判別法1 如果對(duì)于充分大的，，，，且，那么級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　奇偶項(xiàng)判別法2 如果對(duì)于充分大的，，，，且，那么級(jí)數(shù)發(fā)散，其中.</p><p>　　奇偶項(xiàng)判

33、別法3（極限形式） 設(shè)，（可為），（可為），</p><p><b>　　1.若，則收斂；</b></p><p><b>　　2.若，則發(fā)散；</b></p><p>　　3.若，則可能收斂也可能發(fā)散.</p><p>　　奇偶項(xiàng)判別法3實(shí)際是奇偶項(xiàng)判別法2的極限形式.</p>&

34、lt;p>　　例6 試判斷級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　解：由斯特林公式：，得</p><p><b>　　同理可得</b></p><p><b>　　從而有：</b></p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂；</p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)級(jí)

35、數(shù)發(fā)散；</p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例7 試判斷級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　從而得到：</b></p><p>　　（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂；</p>&l

36、t;p>　　（2）當(dāng)時(shí)，，若，則，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；若，則，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；若，則，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂：</p><p>　　（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　3.5 優(yōu)拉高判別法</p><p>　　我們知道，對(duì)于判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的拉貝判別法和高斯判別法是建立在數(shù)列單調(diào)，且當(dāng)時(shí)，有一定的漸進(jìn)式的基礎(chǔ)上的，如果破壞了這種單調(diào)性，那么這兩種判別法將無(wú)效.

37、基于此，下面給出的判別法將克服上述不足，并稱這類判別法為優(yōu)拉高判別法.</p><p>　　判別法1 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，那么</p><p><b>　　.</b></p><p>　　判別法2 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在常數(shù)及，當(dāng)時(shí)，有</p><p><b>　　則級(jí)數(shù)收斂；</b></

38、p><p>　　如果存在，使得當(dāng)時(shí)，有</p><p><b>　　則級(jí)數(shù)發(fā)散.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，判別法2的極限形式不能判定級(jí)數(shù)的斂散性，于是有了判別法3.</p><p>　　判別法3 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在常數(shù)及，當(dāng)時(shí)，有</p><p><b>　　，</b&

39、gt;</p><p><b>　　則級(jí)數(shù)收斂；</b></p><p>　　如果存在，使得當(dāng)時(shí)，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則級(jí)數(shù)發(fā)散.</b></p><p>　　判別法4 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果</p

40、><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.</b></p><p>　　判別法4是判別法3的極限形式.</p><p>　　例8 試判斷級(jí)數(shù)的斂散性，其中為不超過(guò)的

41、素?cái)?shù)個(gè)數(shù).</p><p><b>　　解：，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由由優(yōu)拉高判別法2的極限形式知，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí)，令</p><p>　　下證當(dāng)充分大后，有.</p><p><b>　　不妨設(shè)

42、，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以當(dāng)充分大以后，有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　由優(yōu)拉高判別法2知，級(jí)數(shù)發(fā)散，從而級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　3.6 達(dá)朗貝爾、拉貝、對(duì)數(shù)、比值判別法

43、的推廣</p><p>　　除上述判斷級(jí)數(shù)斂散性的方法外，我們還有下述方法.</p><p>　　達(dá)朗貝爾判別法的推廣 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在某一正整數(shù)，有</p><p>　　那么：1.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；</p><p>　　2.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例9 判斷級(jí)數(shù)的斂散性.</p>&

44、lt;p><b>　　解：令，由于，，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因而原級(jí)數(shù)收斂.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，上述定理即為達(dá)朗貝爾判別法.</p><p>　　拉貝判別法的推廣 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在某一非負(fù)整數(shù)，

45、有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則，1.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；</p><p>　　2.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例10 判斷級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　解：為一正項(xiàng)級(jí)數(shù)，令，則</p><p><b>　　，<

46、;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　級(jí)數(shù)收斂.</b></p><p>　　接著看對(duì)數(shù)判別法的推廣形式.</p><p>　　對(duì)數(shù)判別法的推廣 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在某一非負(fù)整數(shù)，有</p><p><b>　　，&l

47、t;/b></p><p>　　則，1.當(dāng)或時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；</p><p>　　2.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例11 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：令，</b></p><p><b>　　對(duì)，使得當(dāng)時(shí)，，</b></p>

48、<p><b>　　因此原級(jí)數(shù)收斂.</b></p><p>　　比值判別法的推廣 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，單調(diào)遞減，為滿足且單調(diào)遞增的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果</p><p>　?。?）存在上的單調(diào)遞減的連續(xù)可微函數(shù)，有</p><p><b>　　，使得為單調(diào)函數(shù)；</b></p><p>&l

49、t;b>　?。?），</b></p><p>　　則，1.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；</p><p>　　2.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；</p><p>　　3.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.</p><p>　　例12 判斷級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：令，</b></

50、p><p><b>　　在滿足：</b></p><p>　　（1）單調(diào)遞減；（2）連續(xù)可微；（3）,</p><p><b>　　（4）</b></p><p><b>　　且，</b></p><p><b>　　從而級(jí)數(shù)發(fā)散.</b&g

51、t;</p><p>　　3.7 階估計(jì)判別法</p><p>　　階估計(jì)法是指通過(guò)估計(jì)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的階，來(lái)簡(jiǎn)化級(jí)數(shù)的斂散性的判定法，它可以不受級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的繁瑣程度的影響，從而為級(jí)數(shù)斂散性的判定提供了一種比較簡(jiǎn)便的方法.下面來(lái)認(rèn)識(shí)一下這種方法.</p><p>　　階估計(jì)判別法1 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，</p><p>　?。?）如果，則級(jí)數(shù)收斂；&

52、lt;/p><p>　　（2）如果，則級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　階估計(jì)判別法2 設(shè)為非負(fù)數(shù)，則</p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)與斂散性一致；</p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，如果收斂，那么收斂；</p><p>　　（3）當(dāng)時(shí)，如果發(fā)散，那么發(fā)散.</p><p>　　例13 用階估

53、計(jì)法來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：，</b></p><p>　　級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)具有相同的斂散性，后者為級(jí)數(shù)，且此時(shí)，知其發(fā)散，從而級(jí)數(shù)也發(fā)散.</p><p>　　例14 用階估計(jì)法判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的斂散性.已知對(duì)任意自然數(shù)，有</p><p><b>　　.</b><

54、/p><p><b>　　解：</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；</p><p>　　當(dāng)時(shí)，即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　以上介紹的是正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法，對(duì)于一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，我們將討論以下方法：</p><p>　　3.8 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法</p>

55、;<p>　　對(duì)于任意的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)它的項(xiàng)進(jìn)行某種重組，級(jí)數(shù)的斂散性會(huì)收到一定的影響.請(qǐng)看下面的判別法：</p><p>　　重組判別法1 當(dāng)不改變級(jí)數(shù)項(xiàng)的排序，只對(duì)級(jí)數(shù)的項(xiàng)加括號(hào)來(lái)進(jìn)行重組，那么：</p><p>　　1.若原級(jí)數(shù)是收斂的，則重組后的級(jí)數(shù)也是收斂的，并且它的和不變.</p><p>　　2.若原級(jí)數(shù)的斂散性是未知的，則重組后的級(jí)數(shù)

56、即使是收斂的，原級(jí)數(shù)的斂散性仍不能確定.</p><p>　　3.若重組后的級(jí)數(shù)是發(fā)散的，則原來(lái)的級(jí)數(shù)一定是發(fā)散的.</p><p>　　重組判別法2 當(dāng)改變級(jí)數(shù)項(xiàng)的順序?qū)ζ溥M(jìn)行重新組合，將所得的新級(jí)數(shù)稱為原級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)，那么：</p><p>　　1.若原級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，那么其更序級(jí)數(shù)仍然是絕對(duì)收斂的，并且和不變.</p><p>　

57、　2.若原級(jí)數(shù)是條件收斂的，那么其更序級(jí)數(shù)的斂散性不能判斷，不同的重組，收斂其和一般也是不同的.</p><p>　　3.若級(jí)數(shù)是條件收斂的，則總是可以適當(dāng)更換原來(lái)的次序而組成一個(gè)級(jí)數(shù)，使此更序級(jí)數(shù)可以收斂于任何預(yù)先給定的數(shù)（包括的情形）.</p><p>　　綜上所述，對(duì)于絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，任意對(duì)其項(xiàng)進(jìn)行重組不改變級(jí)數(shù)的斂散性及和；對(duì)于非絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，情況會(huì)復(fù)雜很多，對(duì)于條件收斂的級(jí)數(shù)，

58、總可以通過(guò)對(duì)其項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)重組（更序）而使其變?yōu)榘l(fā)散級(jí)數(shù)，而對(duì)于某些發(fā)散的級(jí)數(shù)，通過(guò)適當(dāng)?shù)闹亟M又可以使其變?yōu)槭諗考?jí)數(shù).</p><p>　　例15 判斷級(jí)數(shù)的斂散性</p><p>　　解：不改變?cè)?jí)數(shù)的項(xiàng)的順序，只對(duì)其項(xiàng)加括號(hào)，得到的新級(jí)數(shù)如下：</p><p><b>　　而，</b></p><p><b&g

59、t;　　且發(fā)散，</b></p><p><b>　　因而發(fā)散，</b></p><p>　　由重組判別法1可知，原級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例16 已知級(jí)數(shù)是收斂于的，其一更序級(jí)數(shù)</p><p>　　也是收斂，現(xiàn)求此更序級(jí)數(shù)的和.</p><p><b>　　解：

60、</b></p><p><b>　　，得：</b></p><p><b>　　從而級(jí)數(shù)的和為.</b></p><p>　　3.9 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別的一些技巧</p><p>　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法多樣，技巧性也很強(qiáng)，往往需要多種方法結(jié)合使用，常用到的方法有不等式法、導(dǎo)數(shù)法

61、、定積分法、泰勒公式法、洛比達(dá)法則等，下面將介紹其中幾種.</p><p>　　3.9.1 利用不等式法</p><p>　　在利用不等式來(lái)判別級(jí)數(shù)的斂散性過(guò)程中，經(jīng)常要用到的不等式有：</p><p><b>　　1. </b></p><p><b>　　2. </b></p>

62、<p><b>　　3. </b></p><p><b>　　4. </b></p><p>　　例17 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：由不等式，知</b></p><p><b>　　，</b></p&g

63、t;<p>　　而收斂，因此級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　3.9.2 利用泰勒展式法</p><p>　　例18 利用泰勒展式判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：由于</b></p><p>　　則原級(jí)數(shù)與有相同的斂散性，</p><p>　　而發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)

64、也發(fā)散.</p><p>　　3.9.3 拆項(xiàng)法</p><p>　　將一般項(xiàng)用等價(jià)變形、有理化、三角基本公式等拆成幾項(xiàng)之差也是一種常用方法.</p><p>　　例19 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p><b>　　解：由于</b></p><p><b>　　而，</b&

65、gt;</p><p><b>　　所以收斂；</b></p><p>　　而，當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散.</p><p>　　從而，原級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，發(fā)散.</p><p>　　4 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法</p><p>　　對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別，則主要是討論其一致收斂性，判別方法

66、有Cauchy準(zhǔn)則，比較法，Dirichlet判別法，Abel判別法，余項(xiàng)準(zhǔn)則等，下面只用例子來(lái)簡(jiǎn)要闡述.</p><p>　　例20 斷級(jí)數(shù)的連散性.</p><p>　　解：（1）的部分和有界，且一致有界，</p><p><b>　?。?），單調(diào)遞減，</b></p><p><b>　?。?），<

67、;/b></p><p><b>　　，當(dāng)時(shí)，，有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　在上一致收斂于.</b></p><p>　　綜上所述，由Dirichlet判別法知，原級(jí)數(shù)是一致收斂的.</p><p&g

68、t;<b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 王綿森，馬知恩. 一元函數(shù)微積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)[M].北京：高等教育出版社.2004：227-237．</p><p>　　[2] Walter　Rudin．Principles of Mathematical　Analysis[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社．2004：143-152．</p>&l

69、t;p>　　[3] 高建福．無(wú)窮級(jí)數(shù)與連分?jǐn)?shù)[M]．合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社．2005：12-56．</p><p>　　[4] 孫仁平．正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的Ｐ級(jí)數(shù)判別[J]．高校教育研究．2008，（14）：219．</p><p>　　[5] 鄭興媛．判定級(jí)數(shù)條件收斂的一些方法[J]．西安電子科技大學(xué)．2008，（15）：11-13．</p><p>　

70、　[6] 鄭紅嬋，林希．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的重組及其對(duì)級(jí)數(shù)斂散性的影響[J]．高等數(shù)學(xué)季刊．1988，（2）：38-39．</p><p>　　[7] 魏正剛．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與無(wú)窮廣義積分[J]．科技資訊．2010，（12）：250．</p><p>　　[8] 戴振祥．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法[J]．浙江萬(wàn)里學(xué)院學(xué)報(bào)．1999，（2）：35-56．</p><p>　　[9] 胡晶

71、地．對(duì)Kummer判別法的討論[J]．株洲師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)．2003，（5）：54-56．</p><p>　　[10] 徐國(guó)進(jìn)，徐國(guó)安．一類正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判斷的推廣[J]．孝感學(xué)院學(xué)報(bào)．2010，（3）：23-25.</p><p>　　[11] 洪勇．一個(gè)新的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別定理及應(yīng)用[J]．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)．2004，（3）：245-247．</p><p&g

72、t;　　[12] 張俊祖，葛鍵．關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一個(gè)判別準(zhǔn)則[J]．陜西教育學(xué)院學(xué)報(bào)．2001，（2）：57-59．</p><p>　　[13] 劉昌茂，劉如艷．正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法的推廣[J]．吉首大學(xué)學(xué)報(bào)．1999，（2）：53-54．</p><p>　　[14] 齊紫薇，羅俊芝，董玉才，易良海．階估計(jì)法在判定斂散性方面的應(yīng)用[J]．高等數(shù)學(xué)研究．2010，（3）：4-5．&l

73、t;/p><p>　　[15] 劉啟年．無(wú)窮級(jí)數(shù)比值判別法的推廣[J]．荊州師范學(xué)院學(xué)報(bào)．2001，（2）：25-26.</p><p>　　[16] 王靜，譚康，任秀娟．判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一些方法和技巧[J]．高等數(shù)學(xué)研究．2010，（3）：33-34．</p><p>　　[17] Antoni Zygmund. Trigonometric Series[M].