23502.分數(shù)階偏微分方程的配置方法及其理論分析

1、中圖分類號UDC01751510學校代碼10533密級公開博士學位論文分數(shù)階偏微分方程的配置方法及其理論分析CollocationMethodandTheoreticalAnalysisfor】瑭actionalPartialDi肋rentialEquations作者姓名：學科專業(yè)：研究方向：學院(系、所)：指導教師：張海湘數(shù)學應用數(shù)學數(shù)學與統(tǒng)計學院韓旭里教授論文答辯日期塑!生：皇：圣!答辯委員會主中南大學2014年04月摘要分數(shù)階偏微

2、分方程能非常有效地描述各種各樣的物質(zhì)的記憶和遺傳性質(zhì)，在物理、數(shù)學、生物、電子工程、機械工程和金融等領域發(fā)揮越來越重要的作用。然而，分數(shù)階偏微分方程的解析解是比較復雜的，多數(shù)的解還不能顯示的表示出來。這就促使我們必須考慮有效的數(shù)值方法。本文提出兩種配置方法來求解現(xiàn)實生活中經(jīng)常出現(xiàn)的分數(shù)階微分方程，分別是擬小波配置法和正交樣條配置法。全文共五章，其中第二、三、四章注重介紹作者的研究工作，其主要內(nèi)容分別如下：第二章，對于實際中出現(xiàn)的時間分數(shù)

3、次偏微分方程，我們首次采用擬小波方法進行數(shù)值求解。擬小波思想的主要來源于Mall址的多尺度分析。我們知道，任一的小波子空間都可以由一組正交規(guī)范化小波基生成，且正交規(guī)范化小波基又有自身對應的正交規(guī)范化尺度函數(shù)，然而一般的正交規(guī)范化尺度函數(shù)的傅里葉變換是不連續(xù)的。為了改善正交規(guī)范化尺度函數(shù)的這個局限。我們對它進行正則化處理，這就是擬小波思想的主要來源。本章我們利用二階向后差分方法進行時間導數(shù)離散，空間方向則采用擬小波配置方法。我們也嚴格證明

4、了時間半離散格式的穩(wěn)定性和收斂性。最后，我們提供一些數(shù)值算例，并數(shù)值驗證了給出的數(shù)值方法是可行而且有效的。除此之外，我們給出了帶兩個記憶項的積分微分方程的離散格式以及相應的數(shù)字算例。第三章，對于時間分數(shù)次眥rPlallck方程，我們提出和分析一種新穎的方法進行數(shù)值求解。在給出的方法中，我們采用正交樣條配制方法進行空間離散?；贑aputo導數(shù)的L1估計，我們時間方向采用向后Elller方法進行離散。同時，我們給出了數(shù)值方法的穩(wěn)定性和收斂

5、性結(jié)果，其收斂階為D(72咄矽1)。這些理論性結(jié)果我們都給出了相應的數(shù)值例子進行驗證。除此之外，我們從數(shù)值結(jié)果也能觀察給出方法的超收斂性質(zhì)，也就是，當多項式次數(shù)為r=3時，節(jié)點處導數(shù)的誤差收斂階近似為4。第四章，對于二維分數(shù)次Cable方程，我們采用離散時間正交樣條配置方法進行求解。給定的方法采用正交樣條方法離散空間導數(shù)，時間方向采用有限差分方法。同時，我們也驗證了這個方法是無條件穩(wěn)定的，并給出了收斂性分析，即，對日七，(七=0，1)模