一類非線性波動方程有界行波解的研究.pdf

1、非線性波動方程是非線性科學研究的一個重要分支，其求解問題一直是非線性科學研究中的前沿和熱點。非線性波動方程精確解的研究不僅有助于理解孤立子理論的本質屬性和代數結構，而且對相應自然現象的合理解釋及實際應用將起到重要的作用。由于非線性波動方程的復雜性，致使方程求解目前并無統(tǒng)一的、系統(tǒng)的方法，盡管現在已經發(fā)展了一些有效的研究方法，但這些方法大多是解決方程特定類型的解，對非線性波動方程解的全局漸近行為無法做到全面了解，并且給出的解大多不能明確其

2、是否有界。本論文利用首次積分法和動力系統(tǒng)的分岔方法研究了非線性波動方程的有界行波解，包括Degasperis-Procesi方程、帶有色散項的Degasperis-Procesi方程以及雙組份Degasperis-Procesi方程。利用動力系統(tǒng)的分岔方法在解決非線性波動方程求解問題時，不僅可以區(qū)分出系統(tǒng)軌道的有界性以及對應行波解的有界性，而且還可同時給出這些行波解產生的參數條件以及解的形狀。本文的研究豐富和發(fā)展了非線性波動方程的求解方

3、法。
　　 第1章介紹了非線性波動方程研究的歷史背景，并對本文研究的方程介紹了其研究進展和研究意義。
　　 第2章簡要回顧了孤立波理論的背景知識，概述了當前孤子方程求解的常見方法，最后介紹了本文研究中所需要用到的相關理論和方法。
　　 第3章在交換代數環(huán)論的基礎上，利用首次積分法研究了Degasperis-Procesi方程以及帶有色散項的Degasperis-Procesi方程的精確行波解，最后得到的解形式較之

4、以前更具有一般性，擴展了該類方程解的范圍。
　　 第4章考慮到參數對方程解的形式影響很大，而利用方程對應行波系統(tǒng)的相圖可以更好地理解參數對系統(tǒng)解的影響，因此，用動力系統(tǒng)的分岔方法研究了帶有色散項的Degasperis-Procesi方程的孤立波解、周期尖波解、尖峰孤立波解。分析了系統(tǒng)參數及奇異線對系統(tǒng)解結構的影響，討論了各種行波解之間的演化過程及相互作用模式，特別的對于尖峰孤立波解的形成和機理從動力學的角度予以了討論。
　

5、　 第5章用動力系統(tǒng)的分岔方法研究了雙組份Degasperis-Procesi方程的有界行波解。通過對平衡點的分析給出參數平面上對應系統(tǒng)的相圖，由相軌道的各種類型討論對應行波解的性質，從而給出各類解存在的參數條件，進而了解這些系統(tǒng)所有可能存在的有界行波解，包括孤立波解、周期波解、Breaking kink(anti-kink)波解、以及Loop解，最后借助數值模擬及數學軟件給出了部分解的圖像。
　　 第6章對本文所做的研究工作