曲線的可積運動研究.pdf

1、幾何思想在現代理論物理中的許多領域中都有所體現，它們通常對應于非線性物理中的某些現象.在幾何學本身和非線性物理中，可積系統(tǒng)起著關鍵性作用.如Einstein方程的精確解，弦理論，非線性光學和流體動力學中的孤子等.孤子理論是非線性學科中的一個重要組成部分，具有廣闊的物理背景和廣泛的應用，現已成為數學中重要的研究領域.數學和物理中有關可積性的交互作用產生了豐富的結果.可積非線性偏微分方程和差分方程的現代理論深深植根于19世紀末和20世紀初杰

2、出幾何學家的研究成果.而曲線的可積運動最早也是源于物理中無界無粘性流體的孤立渦絲的空間演化，接著在數學和物理中發(fā)展起來.本文研究歐式空間和Minowski空間中曲線的可積運動理論，主要結果如下:
　　 一.歐氏空間中的曲線運動和B(a)cklund變換.根據運動曲線的相容性以及Frenet標架的相容性，得到了關于曲率和撓率的非線性偏微分方程.對于常撓率運動曲線，非線性偏微分方程化為KdV方程.隨后，我們得到了平面曲線流的Fren

3、et標架之間的B(a)cklund變換，并由此構造了圈孤子曲線和閉曲線.最后，我們利用Lie代數su(2)和so(3)之間的同構，得到Lie群SU(2)和SO(3)之間的同態(tài)映射，并由此構造了常撓率運動曲線Frenet標架之間的B(a)cklund變換，研究了周期曲線，這些周期曲線在xy平面上的投影是閉曲線。
　　 二.Minkowski空間中的曲線運動和B(a)cklund變換.根據曲線運動的相容性以及Frenet標架的相容性

4、，得到了關于曲率和撓率的非線性偏微分方程.對于常撓率曲線運動，非線性偏微分方程化為KdV方程和散焦KdV方程.隨后，我們利用Lie代數su(1，1)和so(1,2)之間的同構，得到Lie群SU(1，1)和SO(1,2)之間的同態(tài)映射，進而得到了常撓率運動類時曲線Frenet標架之間的B(a)cklund變換.類似地，利用Lie代數su(1，1)和so(1，1，1)以及Lie代數su(1，1)和so(2，1)之間的同構，分別得到了主法向量

5、是類時和主法向量是類空兩類運動類空曲線Frenet標架之間的B(a)cklund變換.接著，研究了對應于常撓率曲線沿著不含有副法向量運動的非線性偏微分方程，給出了該方程以及運動曲線的B(a)cklund變換.最后，考慮了對應于常撓率曲線僅沿著副法向量運動的非線性偏微分方程，給出了該方程以及運動曲線的B(a)cklund變換。
　　 三.Minkowski空間中的Bertrand曲線和Razzaboni曲面.首先考慮了類時Bert

6、rand曲線的伴侶曲線.對于由類時Bertrand曲線沿著副法向量運動生成的Razzaboni曲面，我們考慮了Razzaboni曲面及其對偶曲面之間的互反變換.接著研究了類時Bertrand曲線之間和對應的Razzaboni曲面之間的B(a)cklund變換，最后證明了互反變換和B(a)cklund變換是交換的.對于另外兩類Bertrand曲線，即主法向量是類時的和主法向量是類空的類空曲線，我們得到了類似的結論.最后，我們分別研究了主法