iir和fir數(shù)字濾波器的設計及其結構研究課程設計

1、<p>　　IIR和FIR數(shù)字濾波器的設計及其結構研究</p><p><b>　　摘要 </b></p><p>　　數(shù)字信號處理是一門涉及許多學科而又廣泛應用于許多領域的新興學科，隨著信息時代和數(shù)字世界的到來，數(shù)字信號處理已成為一門極其重要的學科和技術領域。數(shù)字信號處理在通信領域、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領域得到了廣泛的

2、應用。在數(shù)字信號處理應用中，數(shù)字濾波器十分重要并已獲得廣泛應用。此次研究主要探究在MATLAB的環(huán)境下無限脈沖響應（IIR）濾波器和有限脈沖響應（FIR）數(shù)字濾波器的設計過程另外對其結構進行在設計基礎上的研究，并且最終對兩種濾波器進行多方面的對比。</p><p>　　關鍵詞 數(shù)字信號處理 數(shù)字濾波器 IIR濾波器 FIR濾波器</p><p>　　第一章 數(shù)字濾波器的設計目的及意

3、義</p><p>　　當今，數(shù)字信號處理技術正飛速發(fā)展，它不但自成一門學科，更是以不同形式影響和滲透到其他學科，它與國民經(jīng)濟息息相關，與國防建設緊密相連，它影響或改變著我們的生產(chǎn)、生活方式，因此受到人們普遍的關注。</p><p>　　長期以來，信號處理技術一直用于轉換、產(chǎn)生模擬或數(shù)字信號，其中最為頻繁應用的領域就是信號的濾波。數(shù)字濾波是語音、圖像處理、模式識別和頻譜分析等應用中的一個基

4、本處理部件，它可以滿足濾波器對幅度和相位特性的嚴格要求，避免模擬濾波器無法克服的電壓漂移、溫度漂移和噪聲等問題。數(shù)字濾波技術是數(shù)字信號分析、處理技術的重要分支[2-3]。無論是信號的獲取、傳輸，還是信號的處理和交換都離不開濾波技術，它對信號安全可靠和有效靈活地傳輸是至關重要的。在所有的電子系統(tǒng)中，使用最多技術最復雜的要算數(shù)字濾波器了。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復用、便于集成等優(yōu)點。數(shù)字濾波器在語言信號處理、圖像信號

5、處理、醫(yī)學生物信號處理以及其他應用領域都得到了廣泛應用。</p><p>　　第二章 IIR數(shù)字濾波器設計</p><p>　　2.1 IIR數(shù)字濾波器設計的基本過程</p><p>　　IIR數(shù)字濾波器的設計一般是利用目前已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設計方法來進行設計，通常采用模擬濾波器原型有butterworth函數(shù)、chebyshev函數(shù)、bessel函數(shù)、橢圓濾

6、波器函數(shù)等。</p><p>　　IIR數(shù)字濾波器的設計步驟：</p><p>　?。?）按照一定規(guī)則把給定的濾波器技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標；</p><p>　?。?）根據(jù)模擬濾波器技術指標設計為響應的模擬低通濾波器；</p><p>　?。?）很據(jù)脈沖響應不變法和雙線性不變法把模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器；</p>

7、<p>　　（4）如果要設計的濾波器是高通、帶通或帶阻濾波器，則首先把它們的技術指標轉化為模擬低通濾波器的技術指標，設計為數(shù)字低通濾波器，最后通過頻率轉換的方法來得到所要的濾波器。</p><p>　　IIR數(shù)字濾波器的設計框圖過程如下圖所示：</p><p><b>　　圖2.1</b></p><p><b>　　2

8、.2設計方法</b></p><p>　　IIR數(shù)字濾波器設計方法有脈沖響應不變法和雙線性不變法。</p><p>　　2.2.1 脈沖響應不變法</p><p>　　脈沖響應不變法是實現(xiàn)模擬濾波器數(shù)字化的一種直觀而常用的方法。它特別適合于對濾波器的時域特性有一定要求的場合。</p><p>　　一個模擬濾波器的傳遞函數(shù)可以用有

9、理分式表達式表示為：</p><p><b>　　（2-1）</b></p><p>　　通過反拉普拉斯變換我們就可以得到它的沖激相應：</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　脈沖響應不變法就是要保證脈沖響應不變，即：</p><p><b

10、>　　（2-3）</b></p><p>　　對上式的沖激相應序列作變換，就可以得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：</p><p>　?。?-4） 利用脈沖響應不變法將H（s）變換為H（z）的設計框圖過程如下圖所示：</p><p><b>　　圖2.2</b></p><p>　　在脈沖響應不變法設計中

11、，模擬頻率與數(shù)字頻率之間的轉換關系是線性的()。同時，它可以保持脈沖響應不變， =。因此，這一方法往往用于低通時域數(shù)字濾波器設計及相應的模擬系統(tǒng)數(shù)字仿真設計。</p><p>　　2.2.2 雙線性變換法</p><p>　　雙線性變換法[8]是指首先把s 平面壓縮變換到某一中介平面s1 的一條橫帶(寬度為2πT,即從- πT到πT) ,然后再利用的關系把s1平面上的這條橫帶變換到整個z

12、平面。這樣s 平面與z 平面是一一對應關系, 消除了多值變換性, 也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。</p><p>　　s 平面到z 平面的變換可采用 (2-5)</p><p><b>　　(2-6)</b></p><p><b>　　令 ，有：</b></p>

13、<p><b>　　(2-7)</b></p><p>　　從s1 平面到z 平面的變換,即 (2-8)</p><p>　　代入上式，得到： (2-9)</p><p>　　一般來說，為使模擬濾波器的某

14、一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有一定的對應關系，可引入代定常數(shù)c， </p><p><b>　　(2-10)</b></p><p>　　則 (2-11) </p><p>　　這種s 平面與z 平面間的單值映射關系就是雙線性變換。有了雙線性變換

15、，模擬濾波器的數(shù)字化只須用進行置換。</p><p>　　2.3 兩種設計方法的比較</p><p>　?。?）沖激響應不變法的優(yōu)缺點：</p><p>　　優(yōu)點：頻率變換關系是線性的，如果不存在頻譜混疊現(xiàn)象，用這種方法設計的數(shù)字濾波器會很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響特性。</p><p>　　缺點：有限階的模擬濾波器不可能是理想帶限的，所以，

16、會產(chǎn)生不同程度的頻率混疊失真，其適合用于低通、帶通濾波器的設計，不適合用于高通、帶阻濾波器的設計。</p><p>　　（2）雙線性變換法的優(yōu)缺點：</p><p>　　優(yōu)點：消除了沖激響應不變法所固有的混疊誤差，并且雙線性變換法不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混疊到低頻部分失去的現(xiàn)象。</p><p>　　缺點：變換法的確定是頻率Ω與ω間的非線性，這種非線性要求

17、被變化的連續(xù)時間系統(tǒng)的幅度響應必須是分段常熟型的（某一段頻率范圍幅度響應應接近于某一常數(shù)），不然所映射出的數(shù)字頻率響應相對于原來的模擬頻率響應會產(chǎn)生變形。</p><p>　　第三章 線性相位FIR數(shù)字濾波器</p><p><b>　　3.1 基本特性</b></p><p>　　與IIR濾波器相比，F(xiàn)IR濾波器在保證幅度特性滿足技術要求的

18、同時，很容易做到有嚴格的線性相位特性。設FIR濾波器單位脈沖響應H(k)長度為M,其系統(tǒng)函數(shù)為:</p><p>　　H(z)=z-k （3-1）</p><p>　　當濾波器的系數(shù)M滿足一定的對稱條件時，就可以獲得線性相位。證明系統(tǒng)是線性相位的充要條件是h[k]=h[M-k],據(jù)此線性相位FIR濾波器共分為四種類型，分

19、別為：</p><p>　　類型Ⅰ，h[k]滿足h[k]=h[M-k],h[k]偶對稱，M為偶數(shù)。</p><p>　　類型Ⅱ，h[k]滿足h[k]=h[M-k],h[k]偶對稱，M為奇數(shù)。</p><p>　　類型Ⅲ，h[k]滿足h[k]=-h[M-k],h[k]奇對稱，M為偶數(shù)。</p><p>　　類型Ⅳ，h[k]滿足h[k]=-h[M

20、-k],h[k]奇對稱，M為奇數(shù)。</p><p><b>　　3.2 設計方法 </b></p><p>　　FIR濾波器的優(yōu)點是可方便地實現(xiàn)線性相位，其設計方法一般包括窗函數(shù)法和頻率取樣法。</p><p>　　3.2.1 窗函數(shù)法</p><p>　　窗函數(shù)設計法一般是先給定所要求的理想濾波器頻率響應，由導出，我們

21、知道理想濾波器的沖擊響應是無限長的非因果序列，而我們要設計的是是有限長的FIR濾波器，所以要用有限長序列來逼近無限長序列，設：</p><p><b>　　(3-2)</b></p><p>　　常用的方法是用有限長度的窗函數(shù)w(n)來截取 即：</p><p><b>　　(3-3) </b></p>&l

22、t;p>　　這里窗函數(shù)就是矩形序列RN(n),加窗以后對理想低通濾波器的頻率響應將產(chǎn)生什么樣的影響呢?根據(jù)在時域是相乘關系,在頻域則是卷積關系： </p><p><b>　　(3-4)</b></p><p>　　其中,為矩形窗譜, 是FIR濾波器頻率響應.</p><p>　　3.2.2 頻率取樣法</p><p&

23、gt;　　頻率抽樣法是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應 加以等間隔抽樣得到 ，然后以此 作為實際FIR濾波器的頻率特性的抽樣值H(k)，即</p><p><b>　　(3-5) </b></p><p>　　知道H(k)后，由DFT定義可唯一確定有限長序列 h(n)，利用這N個頻域抽樣值H(k)同樣利用頻率內(nèi)插公式可得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，及頻率響應

24、，即： </p><p>　　頻率抽樣法內(nèi)插公式： </p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　3.3 兩種設計方法的比較</p><p><b>　　（1）頻率抽樣法：</b></p><p>　　優(yōu)點：可以在頻域直接設計，并且適合于最

25、優(yōu)化設計。 缺點：抽樣頻率只能等于 2π/N 的整數(shù)倍，或等于2π/N 的整數(shù)倍加上π/N。因而不能確保截止頻率 的自由取值，要想實現(xiàn)自由地選擇截止頻率，必須增加抽樣點數(shù)N，但這又使計算量增大。 </p><p><b>　?。?）窗函數(shù)法：</b></p><p>　　優(yōu)點：簡單，有閉合形式的公式可循，因而很實用。</p><p>　　缺

26、點：通帶、阻帶的截止頻率不易控制。</p><p>　　第四章 數(shù)字濾波器的基本結構</p><p>　　4.1 IIR數(shù)字濾波器的基本結構</p><p>　　(1)IIR濾波器的直接型結構；</p><p>　　優(yōu)點：簡單、直觀，所使用的延時器數(shù)量少。</p><p>　　缺點：改變某一個系數(shù){ak}將影響所以的

27、極點，改變某一個系數(shù){bk}將影響所有的零點，更嚴重的是這種結構對有限字長效應太敏感，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象和產(chǎn)生較大的誤差。對于三階以上的IIR數(shù)字濾波器，幾乎都不采用直接型結構，而是采用級聯(lián)型、并聯(lián)型等其他形式的結構。</p><p>　　(2)IIR濾波器的級聯(lián)型結構；</p><p>　　特點：系統(tǒng)實現(xiàn)簡單，只需一個二階節(jié)系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成；極點位置可單獨調整； 運算速度快(

28、可并行進行)； 各二階網(wǎng)絡的誤差互不影響，總的誤差小，對字長要求低。 </p><p>　　缺點：不能直接調整零點，因多個二階節(jié)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，當需要準確的傳輸零點時，級聯(lián)型最合適。</p><p>　　(3)IIR濾波器的并聯(lián)型結構。</p><p>　　優(yōu)點：簡化實現(xiàn)，用一個二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)； 極、零點可單獨控制、調整，調整α

29、1i、α2i只單獨調整了第i對零點，調整β1i、β2i則單獨調整了第i對極點； 各二階節(jié)零、極點的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運算誤差； 可流水線操作。 </p><p>　　缺點：二階階電平難控制，電平大易導致溢出，電平小則使信噪比減小。 </p><p>　　圖4.1直接型 圖4.2并聯(lián)型</p><p><b>　　圖

30、4.3級聯(lián)型</b></p><p>　　4.2 FIR數(shù)字濾波器的基本結構</p><p>　　(1)FIR濾波器的直接型結構</p><p>　　表示系統(tǒng)輸入輸出關系的差分方程可寫作：</p><p>　　(4-1) </p><p>　　直接由差分方程得出的實現(xiàn)結

31、構如圖2-2所示：</p><p><b>　　圖4.4 直接型</b></p><p>　　(2)FIR濾波器的級聯(lián)型結構</p><p>　　將H(z)分解成實系數(shù)二階因子的乘積形式：</p><p><b>　　(4-2)</b></p><p>　　這時FIR濾波器可

32、用二階節(jié)的級聯(lián)結構來實現(xiàn)，每個二階節(jié)用橫截型結構實現(xiàn)。如圖所示：</p><p>　　圖4.5 FIR濾波器的級聯(lián)結構</p><p>　　這種結構的每一節(jié)控制一對零點，因而在需要控制傳輸零點時可以采用這種結構。</p><p>　　(3)FIR濾波器的頻率取樣型結構</p><p>　　M階頻率取樣型FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為<

33、;/p><p>　　H（z）==H1(z) （4-3）</p><p>　　畫出N個一階IIR子系統(tǒng)的結構圖，并將它們并聯(lián)，再與FIR子系統(tǒng)H1（z）的結構圖級聯(lián)，即可得到M階FIR濾波器頻率取樣結構圖。</p><p>　　兩種數(shù)字濾波器的比較</p><p><b>　　5.1 性能方面<

34、/b></p><p>　　IIR濾波器傳輸函數(shù)的極點可能位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存儲單元少，所以經(jīng)濟而效率高。但是這個高效率是以相位的非線性作為代價的。選擇性越好，則相位非線性越嚴重。相反，F(xiàn)IR濾波器卻可以得到嚴格的線性相位，然而由于FIR濾波器傳輸函數(shù)的極點固定在原點，所以只能用較高的階數(shù)達到高的選擇性，使得濾波變得更復雜。</p><p&g

35、t;　　5.3 設計工具方面</p><p>　　從設計工具看,IIR濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設計公式可供準確計算，計算工作量比較小，對計算工具的要求不高。FIR濾波器設計則一般沒有封閉形式的設計公式，只有計算程序可循，因此對計算工具要求較高。</p><p><b>　　5.3 應用方面</b></p><p

36、>　　IIR數(shù)字濾波器雖然設計簡單，但主要是用于設計具有片段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。而FIR數(shù)字濾波器則比較靈活，尤其適用于某些特殊的應用，如構成微分器或積分器，或用于巴特沃斯、切比雪夫等逼近不可能達到預定指標的情況，例如，由于某些原因要求三角形幅頻響應或一些更復雜的幅頻響應，因而FIR數(shù)字濾波器有更大的適應性和應用范圍。</p><p><b>

37、;　　結論</b></p><p>　　本文介紹了數(shù)字濾波器的基本結構，此次研究主要討論了IIR的兩種設計方法，脈沖響應不變法和雙線性變換法的優(yōu)劣及FIR的兩種設計方法，窗函數(shù)法和頻率取樣法的優(yōu)點及缺點。本研究通過對兩種濾波器之間的設計結構以及在MATLAB環(huán)境中的運行所得圖像對其性能進行分析和比較，IIR和FIR兩種濾波器有各自自身的優(yōu)點和不足，通過在各個方面的對比從而達到在實際應用中更好的進行選擇

38、使用，從而達到既高效又經(jīng)濟的目的。</p><p>　　通過這次課程設計，讓我對MATLAB語言進行了更深層次的了解和掌握，讓我了解到數(shù)字濾波器對噪聲信號濾除的詳細過程。這次的課程設計不僅檢驗了我所學的知識，也培養(yǎng)了我如何去做一件事，又如何完成一件事，提高了操作能力和動手能力，進一步培養(yǎng)了學習興趣和研究能力。</p><p><b>　　參考文獻</b></p&

39、gt;<p>　　[1] 余成波 . 數(shù)字信號處理及MATLAB實現(xiàn) . 清華大學出版社 1995</p><p>　　[2] 宋壽鵬 . 數(shù)字濾波器設計及工程應用. 江蘇大學出版社 2005</p><p>　　[3] 程佩青 . 數(shù)字信號處理教程 . 清華大學出版社 2007.2</p><p>　　[4] 薛年喜 . MATLA